matematikk.net

Sliter med å vise dette uten å bare referere til calculus :/
Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.

tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette

Hva har du gjort foreløpig da?

CharlieEppes skrev:Sliter med å vise dette uten å bare referere til calculus :/
Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette

VIS
tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
prøver meg, vi setter:
[tex]f(x)=\arctan(x)=y[/tex]
der
[tex]tan(y)=x[/tex]

som er surjektiv, bijektiv og kontinuerlig.
for eksempel

[tex](a,b) \rightarrow (0, b-a) \rightarrow (0,1) \rightarrow (0, d-c) \rightarrow (c, d)[/tex]
da er:

[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\, (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})[/tex]

[tex](\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]


[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]

holder dette?

mer eller mindre bare vist til egenskaper vi lærte i calculus om tangens funksjonen, uten å vise så mye.
Dette er vell de punktene jeg trenger;
* $f$ is a bijection (one-to-one and onto),
* $f$ is continuous,
* the inverse function $f^{−1}$ is continuous ($f$ is an open mapping).

Så jeg har vell i grunn bare svart på disse ut i fra hva man vet om funksjonen fra typisk calculus.

Janhaa skrev: prøver meg, vi setter:
[tex]f(x)=\arctan(x)=y[/tex]
der
[tex]tan(y)=x[/tex]

som er surjektiv, bijektiv og kontinuerlig.
for eksempel
holder dette?

joda, dette er jo noe det samme jeg gjorde, lurte mer på om det var en annen måte som gjerne bruker mer fra topologien.
gjerne som viser kontinuiteten og slikt.

CharlieEppes skrev: joda, dette er jo noe det samme jeg gjorde, lurte mer på om det var en annen måte som gjerne bruker mer fra topologien.
gjerne som viser kontinuiteten og slikt.

Det går fint an å bevise dette med mer "topologiske metoder". Tror det da er lurt å bruke rekkedefinisjonen av tan x og arctan x. Hvis du antar at disse er inverser av hverandre på intervallet, så følger jo bijektiviteten automatisk, og du behøver kun bevise kontinuitet.

Du kan rimelig enkelt bevise at summer av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige, ved bruk av definisjonen av kontinuerlige avbildninger fra topologien, samt å uttrykke sum av to funksjoner som en komposisjon av kontinuerlige funksjoner.

Da koker det hele ned til å vise at avbildninger på formen $f(x):=ax^n$ er kontinuerlige.

Det er da nok å vise at inversbildet av åpne intervaller er åpen, siden åpne intervaller utgjør en basis for standardtopologien på $\mathbb{R}$.

Janhaa skrev:

CharlieEppes skrev:Sliter med å vise dette uten å bare referere til calculus :/
Prove that tan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
tar gjerne imot noen tips til måter å vise dette

VIStan : $( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ) \rightarrow R$ is a homeomorphism.
prøver meg, vi setter:
[tex]f(x)=\arctan(x)=y[/tex]
der[tex]tan(y)=x[/tex]
som er surjektiv, bijektiv og kontinuerlig.for eksempel
[tex](a,b) \rightarrow (0, b-a) \rightarrow (0,1) \rightarrow (0, d-c) \rightarrow (c, d)[/tex]
da er:[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\, (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})[/tex]
[tex](\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]
[tex](a, b)\,\,\text homomorf\,\, til\,\,R[/tex]
holder dette?

plutarco, holder dette på eksamen i abstrakt algebra ala MAT2200 UiO?

Spørsmålet har vel ikke så mye med abstrakt algebra å gjøre?

Men man kan betrakte og løse det enten i lys av reell analyse eller bruke definisjoner fra topologi. Forskjellen er at kontinuitet er definert via $\epsilon - \delta$ i analysen, mens i topologien er en avbildning kontinuerlig dersom inversbildet av åpne mengder er åpen. Definisjonene er selvsagt ekvivalente for funksjoner fra og til R.

Jeg stusser også over at du har skrevet homomorfi, når det her er snakk om homeomorfi. Det er to ulike begreper.

plutarco skrev:Spørsmålet har vel ikke så mye med abstrakt algebra å gjøre?
Men man kan betrakte og løse det enten i lys av reell analyse eller bruke definisjoner fra topologi. Forskjellen er at kontinuitet er definert via $\epsilon - \delta$ i analysen, mens i topologien er en avbildning kontinuerlig dersom inversbildet av åpne mengder er åpen. Definisjonene er selvsagt ekvivalente for funksjoner fra og til R.
Jeg stusser også over at du har skrevet homomorfi, når det her er snakk om homeomorfi. Det er to ulike begreper.

blanda homomorphism med homeomorphism