matematikk.net

Jeg har en oppgave om rekker, og skal finne ut om denne konvergerer eller divergerer:
Det visest at:
Integralet(altså integraltegn her) ((ln n)^m)/n dn = 1/m+1(ln n)^(m+1) + C for m ikke lik -1.
Bruk dette til å bestemme om rekken (summetegn fra 1 til uendelig) (ln n)/n konvergerer eller divergerer.

Hvordan går man frem her?

C6H8O7 skrev:Jeg har en oppgave om rekker, og skal finne ut om denne konvergerer eller divergerer:
Det visest at:
Integralet(altså integraltegn her) ((ln n)^m)/n dn = 1/m+1(ln n)^(m+1) + C for m ikke lik -1.
Bruk dette til å bestemme om rekken (summetegn fra 1 til uendelig) (ln n)/n konvergerer eller divergerer.

Hvordan går man frem her?

Vi har at
$$\int\frac{(\ln n)^m}{n} dn = \frac{(\ln n)^{m+1}}{m+1} + C. $$

Især vet vi da at $$\int\frac{\ln n}{n} dn = \frac{1}{2}(\ln n)^2 + C.$$

Siden funksjonen $\frac{\ln n}{n}$ er ikke-negativ, synkende og kontinuerlig for $n \geq 1$ sier integraltesten at rekken $\sum\frac{\ln n}{n}$ konvergerer $\iff$ det uekte integralet $\int_1^{\infty}\frac{\ln n}{n} dn$ konvergerer.

Nå,

$\displaystyle\begin{align*} \int_1^{\infty}\frac{\ln n}{n} dn & = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_1^{N} \frac{\ln n}{n} dn \\
& = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(\ln N\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\ln 1\right)^2 \\
& = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(\ln N\right)^2,\end{align*}$

hvilket ikke konvergerer. Derfor divergerer rekken.

Altså, her ønsker de at du skal benytte deg av integraltesten. Dette bør du nok lese deg opp på, men kort oppsummert så vil det uegentlige integralet konvergere/divergere i takt med rekken du er gitt.
Ellers er det jo helt opplagt at denne divergerer ved sammenlikningtesten, jmf. den harmoniske rekken.

Tusen takk begge to! Da skal jeg lese på integraltesten