Rekker

[C6H8O7]

Jeg har en oppgave om rekker, og skal finne ut om denne konvergerer eller divergerer:
Det visest at:
Integralet(altså integraltegn her) ((ln n)^m)/n dn = 1/m+1(ln n)^(m+1) + C for m ikke lik -1.
Bruk dette til å bestemme om rekken (summetegn fra 1 til uendelig) (ln n)/n konvergerer eller divergerer.

Hvordan går man frem her?

[DennisChristensen]

Jeg har en oppgave om rekker, og skal finne ut om denne konvergerer eller divergerer:
Det visest at:
Integralet(altså integraltegn her) ((ln n)^m)/n dn = 1/m+1(ln n)^(m+1) + C for m ikke lik -1.
Bruk dette til å bestemme om rekken (summetegn fra 1 til uendelig) (ln n)/n konvergerer eller divergerer.

Hvordan går man frem her?

Vi har at
$$\int\frac{(\ln n)^m}{n} dn = \frac{(\ln n)^{m+1}}{m+1} + C. $$

Især vet vi da at $$\int\frac{\ln n}{n} dn = \frac{1}{2}(\ln n)^2 + C.$$

Siden funksjonen $\frac{\ln n}{n}$ er ikke-negativ, synkende og kontinuerlig for $n \geq 1$ sier integraltesten at rekken $\sum\frac{\ln n}{n}$ konvergerer $\iff$ det uekte integralet $\int_1^{\infty}\frac{\ln n}{n} dn$ konvergerer.

Nå,

$\displaystyle\begin{align*} \int_1^{\infty}\frac{\ln n}{n} dn & = \lim_{N \rightarrow \infty} \int_1^{N} \frac{\ln n}{n} dn \\
& = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(\ln N\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\ln 1\right)^2 \\
& = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(\ln N\right)^2,\end{align*}$

hvilket ikke konvergerer. Derfor divergerer rekken.

[Aftermath]

Altså, her ønsker de at du skal benytte deg av integraltesten. Dette bør du nok lese deg opp på, men kort oppsummert så vil det uegentlige integralet konvergere/divergere i takt med rekken du er gitt.
Ellers er det jo helt opplagt at denne divergerer ved sammenlikningtesten, jmf. den harmoniske rekken.

[C6H8O7]

Tusen takk begge to! Da skal jeg lese på integraltesten