matematikk.net

Så i et eksempel at man kan anslå Lineært avhenging eller uavhenging ved hjelp av å regne determinanten.
Kunne noen forklart hvordan det forteller om det er avhengig eller uavhengig?

Gjest skrev:Så i et eksempel at man kan anslå Lineært avhenging eller uavhenging ved hjelp av å regne determinanten.
Kunne noen forklart hvordan det forteller om det er avhengig eller uavhengig?

Hvis du har to vektorer [tex]\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}[/tex], og [tex]\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}[/tex], og de er lineært avhengige betyr det at den ene er en skalar ganger den andre.
Kanskje har vi at [tex]\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k\cdot c\\k\cdot d \end{pmatrix}[/tex], men dette betyr at:
[tex]a=k\cdot c[/tex] og [tex]b=k\cdot d[/tex].

Hvis vi løser med hensyn på [tex]k[/tex], får vi: [tex]k=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}[/tex].
Den siste likheten kan vi skrive som [tex]ad-bc=0[/tex], som er determinanten av [tex]\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}[/tex]! Så determinanten er [tex]0[/tex] hvis (og bare hvis) vektorene er lineært avhengige.
Ble det litt klarere? Er ikke så god i lineær algebra at jeg greier å vise hvorfor dette er sant for dimensjoner større enn 2, så der kommer nok andre med bedre argumenter

Gjest skrev:Så i et eksempel at man kan anslå Lineært avhenging eller uavhenging ved hjelp av å regne determinanten.
Kunne noen forklart hvordan det forteller om det er avhengig eller uavhengig?

$\displaystyle\begin{align*} & \det A \neq 0 \\
\iff & A\text{ representerer en inverterbar transformasjon} \\
\iff & A\text{ representerer en surjektiv transformasjon (følger fra rank-nullity)} \\
\iff & \text{rank}(A)\text{ er maksimal} \\
\iff & \text{kolonnene i }A\text{ er lineært uavhengige.}\end{align*}$