Så i et eksempel at man kan anslå Lineært avhenging eller uavhenging ved hjelp av å regne determinanten.
Kunne noen forklart hvordan det forteller om det er avhengig eller uavhengig?
Lineært avhenging/uavhenging
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
Hvis du har to vektorer [tex]\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}[/tex], og [tex]\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}[/tex], og de er lineært avhengige betyr det at den ene er en skalar ganger den andre.Gjest skrev:Så i et eksempel at man kan anslå Lineært avhenging eller uavhenging ved hjelp av å regne determinanten.
Kunne noen forklart hvordan det forteller om det er avhengig eller uavhengig?
Kanskje har vi at [tex]\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k\cdot c\\k\cdot d \end{pmatrix}[/tex], men dette betyr at:
[tex]a=k\cdot c[/tex] og [tex]b=k\cdot d[/tex].
Hvis vi løser med hensyn på [tex]k[/tex], får vi: [tex]k=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}[/tex].
Den siste likheten kan vi skrive som [tex]ad-bc=0[/tex], som er determinanten av [tex]\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}[/tex]! Så determinanten er [tex]0[/tex] hvis (og bare hvis) vektorene er lineært avhengige.
Ble det litt klarere? Er ikke så god i lineær algebra at jeg greier å vise hvorfor dette er sant for dimensjoner større enn 2, så der kommer nok andre med bedre argumenter
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
$\displaystyle\begin{align*} & \det A \neq 0 \\Gjest skrev:Så i et eksempel at man kan anslå Lineært avhenging eller uavhenging ved hjelp av å regne determinanten.
Kunne noen forklart hvordan det forteller om det er avhengig eller uavhengig?
\iff & A\text{ representerer en inverterbar transformasjon} \\
\iff & A\text{ representerer en surjektiv transformasjon (følger fra rank-nullity)} \\
\iff & \text{rank}(A)\text{ er maksimal} \\
\iff & \text{kolonnene i }A\text{ er lineært uavhengige.}\end{align*}$