Hei, jeg holder på med en oppgave der jeg er bedt om å vise at
[tex]\frac{d}{dt}\Phi = A(t)\Phi \\[/tex]
Der [tex]\Phi = \Phi (t,t_0) = e^{\int_{t_0}^t A(s)ds}[/tex]
Hvorpå vi skal vise at dette bare holder dersom [tex]A(t)A(s) = A(s)A(t)[/tex]. Men jeg kan ikke skjønne hvordan dette går til da jeg får
[tex]e^{\int_{t_0}^{t}A(s)ds} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{{}(\int_{t_0}^{t}A(s)ds)^i}{i!}[/tex]
Vi er i første omgang bedt om å vise at det ikke holder i tilfellet der vi lar summen gå til 2. Altså
[tex]e^{\int_{t_0}^{t}A(s)ds} = I + \int_{t_0}^t A(s)ds + \frac{(\int_{t_0}{t}A(s)ds)^2}{2!}[/tex]
Så hvorfor er ikke
[tex]De^{\int_{t_0}^t A(s)ds} = D (I + \int_{t_0}^t A(s)ds + \frac{(\int_{t_0}{t}A(s)ds)^2}{2!}) = A(t) + A(t)\int_{t_0}^t A(s)ds[/tex]
Som jeg da ville trodd i uendelighetstilfellet ville gitt
[tex]A(t)e^{\int_{t_0}^t A(s)ds}[/tex]
Så spørsmålet er da:
Hvorfor holder ikke dette?
Er ikke
[tex]D\frac{\left(\int_{t_0}^t A(s) ds \right)^2}{2} = A(t)\int_{t_0}^t A(s) ds[/tex]
?
Tidsavhengig fundamental matrise løsning av diff-likning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Blir det ikke slik da?
[tex]D \frac{(\int_{t_0}^{t} A(s)ds)^2}{2!} = \frac{1}{2}A(t)\int_{t_0}^t A(s)ds + \frac{1}{2}(\int_{t_0}^t A(s)ds)A(t)[/tex]
Dersom [tex]A(t)[/tex] og [tex]\int_{t_0}^t A(s)ds[/tex] kommuterer så får vi [tex]D \frac{(\int_{t_0}^{t} A(s)ds)^2}{2!} = A(t)\int_{t_0}^t A(s)ds[/tex]
[tex]D \frac{(\int_{t_0}^{t} A(s)ds)^2}{2!} = \frac{1}{2}A(t)\int_{t_0}^t A(s)ds + \frac{1}{2}(\int_{t_0}^t A(s)ds)A(t)[/tex]
Dersom [tex]A(t)[/tex] og [tex]\int_{t_0}^t A(s)ds[/tex] kommuterer så får vi [tex]D \frac{(\int_{t_0}^{t} A(s)ds)^2}{2!} = A(t)\int_{t_0}^t A(s)ds[/tex]