deriverbarhet og kontinuerlig- samme ting?

[Gjest]

Betyr at noe er deriverbarhet og kontinuerlig det samme?

[Aleks855]

Nei, men deriverbarhet medfører kontinuitet. Det omvendte holder ikke.

[DennisChristensen]

Legger bare til et bevis her.

Deriverbarhet $\Rightarrow$ kontinuitet: La $E \subseteq \mathbb{R}$ og la $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ være deriverbar i et punkt $a \in E$. Da får vi at $$\lim_{x\to a} f(x) - f(a) = \lim_{x\to a} \left(x - a\right)\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 0\cdot f'(a) = 0,$$ så $f$ er kontinuerlig i punktet $a$.

Kontinuitet $\nRightarrow$ deriverbarhet: Funksjonen $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$ er kontinuerlig overalt, men ikke deriverbar i punktet $0$ (enkelt å vise).

[hco96]

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$

Hvordan leser man dette? Om jeg tør spørre

[DennisChristensen]

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$

Hvordan leser man dette? Om jeg tør spørre

En funksjon fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$ som sender $x$ til $|x|$.

[hco96]

$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x|$

Hvordan leser man dette? Om jeg tør spørre

En funksjon fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{R}$ som sender $x$ til $|x|$.

Takker og bukker, er det noen åpenbare fordeler ved å bruke denne notasjonen?

[Aleks855]

Det jeg liker med denne notasjonen er at domenet og kodomenet allerede er oppgitt. Ellers er det ikke så mye annerledes fra å si $f(x) = |x|, \ \ D_f = \mathbb R$.