Integrasjon - Hva skjer?

[Gjest]

Jeg har en fasit jeg ikke forstår helt. Jeg veldegger skjermdump:

https://gyazo.com/d2c846d1a656a2c13a6e112c31f566bf

Hvordan kommer vedkommende frem til det som står inne i den store parentesen? Jeg får følgende:

[tex]ln\left ( \frac{b+d}{a} \right )-ln\left ( \frac{d}{a} \right )[/tex]

WolframAlpha så også ut til å være enig med meg, men hvordan kommer vedkommende fasit frem til det uttrykket som virker annerledes? JEg prøvde meg frem med logaritmereglene, men uten hell.

[DennisChristensen]

Jeg har en fasit jeg ikke forstår helt. Jeg veldegger skjermdump:

https://gyazo.com/d2c846d1a656a2c13a6e112c31f566bf

Hvordan kommer vedkommende frem til det som står inne i den store parentesen? Jeg får følgende:

[tex]ln\left ( \frac{b+d}{a} \right )-ln\left ( \frac{d}{a} \right )[/tex]

WolframAlpha så også ut til å være enig med meg, men hvordan kommer vedkommende fasit frem til det uttrykket som virker annerledes? JEg prøvde meg frem med logaritmereglene, men uten hell.

$\displaystyle\begin{align*} \int_{a+d}^{a+b+d}\left(\frac{1}{x-a} - \frac1x\right) dx & = \left[\ln\left(x-a\right) - \ln x \right]_{a+d}^{a+b+d} \\
& = \ln\left( a+ b + d - a\right) - \ln \left(a + b + d\right) - \left[\ln\left(a + d - a\right) - \ln\left(a + d\right)\right] \\
& = \ln\left(b + d\right) - \ln \left(a + b + d\right) - \ln d + \ln\left( a + d\right) \\
& = \left[\ln\left(b + d\right) - \ln d\right] - \left[\ln\left(a + b + d\right) - \ln \left(a + d\right)\right] \\
& = \ln\left(\frac{b+d}{d}\right) - \ln\left(\frac{a+b+d}{a+d}\right). \end{align*}$