Obligatorisk oppgave mat112

[Leimeg]

Har fått i oblig i MAT 112 å finne ut om en rekke serier er konvergente. Kan noen med god intuisjon hjelpe meg å finne ut hvilken test som er hensiktsmessig å bruke for de forskjellige rekkene? Hvis noen hjelper meg å finne ut hvilken test jeg skal bruke tror jeg at jeg klarer å gjennomføre testen selv. På forhånd takk
a)[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{3}}{2^{n}}[/tex]

b) [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2n+(-1)^{n}}{n^{2}+n+1}[/tex]

c) [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n+ln (n)}[/tex]

d) [tex]\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n sin(1/n)[/tex]

e) [tex]\sum_{n=1}^{\infty }(\sqrt{n^{4}+1}-n^{2})[/tex]

[Gjest]

Det er da ikke så mange ulike måter du kan gjøre det på. Prøv deg fram metode for metode og se hvordan det går.

[Leimeg]

Når man bruker lang tid pr test og ikke stoler på om man bruker riktig fremgangsmåte så tar det en liten evighet. Ber ikke om at noen gjør oppgaven for meg, spør bare om noen som lett ser hvilken test man bør bruke gir meg noen hint. Håper noen andre kan tenke seg å hjelpe

[Kake med tau]

Når man bruker lang tid pr test og ikke stoler på om man bruker riktig fremgangsmåte så tar det en liten evighet. Ber ikke om at noen gjør oppgaven for meg, spør bare om noen som lett ser hvilken test man bør bruke gir meg noen hint. Håper noen andre kan tenke seg å hjelpe

Kanskje en cliché, men hjelper ofte å bruke en liten evighet på sånne problemer. Noen tommelfingerregler jeg bruker er:

• Hvis [tex]a_n[/tex] er en brøk, med bare ganging eller deling (ingen [tex]+[/tex] eller [tex]-[/tex]), så er det ofte lurt å prøve ut forholdstesten først. Den er veldig lett å gjennomføre når det bare er ganging eller deling.
• Hvis [tex]a_n[/tex] er en brøk, og den går mot noe som ser ut som [tex]\frac{1}{n}[/tex], når [tex]n\rightarrow \infty[/tex], så prøv å sammenlign den med noe på formen [tex]\frac{a}{n+b}[/tex]. F. eks:
  
  [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^3+n+1}[/tex], her er [tex]a_n=\frac{n^2+1}{n^3+n+1}=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{n+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}[/tex], og dette går mot [tex]\frac{1}{n}[/tex], så da ville jeg ha prøvd å sammenlignet den med noe på samme form. Her ser vi at vi kan dele opp summen slik: [tex]\frac{n^2+1}{n^3+n+1}=\frac{n^2}{n^3+n+1}+\frac{1}{n^3+n+1}[/tex]. Den siste konvergerer siden [tex]\sum \frac{1}{n^3+n+1}\leq \sum \frac{1}{n^2}=\frac{\tau^2}{24}[/tex], så vi trenger bare å se hva som skjer med [tex]\frac{n^2}{n^3+n+1}=\frac{1}{n+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}[/tex]. Hvis vi vil at [tex]\frac{1}{c\cdot n}\leq\frac{1}{n+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}[/tex], så må vi ha: [tex]n+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\leq c\cdot n[/tex]. Men siden [tex]\frac{1}{n}\leq n[/tex], vet vi at [tex]n+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\leq 3n[/tex], så [tex]\frac{1}{3}\sum \frac{1}{n} \leq \sum \frac{1}{n+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}[/tex]. Og da divergerer hele greia.