MAT1110 midtveiseksamen - hjelp

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
oppgitt student

Hei :)

Har to spm i forhold til eksempel eksamen som ble gitt før midtveiseksamen i mat1110, hvordan går man frem for å løse disse to oppgavene? har virkelig satt meg fast og klarer ikke se løsningen .

OPPGAVE 3

En vaier har form av en parmetrisert kurve ved
r(t)=cos⁡ti+sin⁡tj+t^2k, 0≤ t ≤1.
Hvis tettheten til vaieren i punktet (x,y,z) er gitt ved f(x,y,z)=8*sqrt(z), så blir massen til vaieren?

OPPGAVE 5

Tangentplanet til funksjonen
f(x,y)=x^2 cos⁡(πx)−2y^2
i punktet (1,1) er gitt ved?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

oppgitt student skrev:Hei :)

Har to spm i forhold til eksempel eksamen som ble gitt før midtveiseksamen i mat1110, hvordan går man frem for å løse disse to oppgavene? har virkelig satt meg fast og klarer ikke se løsningen .

OPPGAVE 3

En vaier har form av en parmetrisert kurve ved
r(t)=cos⁡ti+sin⁡tj+t^2k, 0≤ t ≤1.
Hvis tettheten til vaieren i punktet (x,y,z) er gitt ved f(x,y,z)=8*sqrt(z), så blir massen til vaieren?

OPPGAVE 5

Tangentplanet til funksjonen
f(x,y)=x^2 cos⁡(πx)−2y^2
i punktet (1,1) er gitt ved?

Oppgave 3

$$\begin{align*} \text{Total masse} = \int_{\text{vaier}}\text{massetetthet}\cdot\text{lengdeelement} & = \int_{t=0}^1 f\left(\mathbf{r}(t)\right)|\mathbf{r}'(t)| dt \\
& = \int_{t=0}^1 8\sqrt{t^2} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 4t^2} dt \\
& = \int_{t=0}^1 8t \sqrt{1 + 4t^2} dt \\
& = \int_{u=1}^5 \sqrt{u}\text{ }du \text{ }\text{ }\text{ hvor vi har substituert }u = 1 + 4t^2\text{ (så }du = 8tdt\text{ osv)} \\
& = \left[\frac23 u^{\frac32}\right]_1^5 \\
& = \frac23\left( 5^{\frac32} - 1\right).\end{align*}$$


Oppgave 5

La $g(x,y,z) = z - f(x,y) = z - x^2 \cos⁡(\pi x)+2y^2$. Da er flaten vår gitt ved $g(x,y,z) = 0$, og vi kan bruke gradientvektoren som normalvektor for tangentplanet: $$\nabla g(x,y,z) = \begin{pmatrix} \pi x^2\sin(\pi x) - 2x \cos(\pi x) \\ 4y \\ 1 \end{pmatrix},$$
så tangentplanet har normalvektoren $$\mathbf{n} = \nabla g(1,1,f(1,1)) = \nabla g(1,1,-3) = \begin{pmatrix} 0 + 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix}.$$

Planet skjærer punktet $\mathbf{x_0} = (1,1,f(1,1)) = (1,1,-3)$, så for alle punkter $\mathbf{r} = (x,y,z)$ i planet har vi at $\mathbf{n}^T\left(\mathbf{r} - \mathbf{x_0}\right) = 0$ og vi får derfor likningen: $$(2,4,1)\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 1 \\ z + 3\end{pmatrix} = 0$$ $$2(x-1) + 4(y-1) + z + 3 = 0$$ $$2x + 4y + z - 3 = 0.$$
Svar