Hjelp Komplekse tall

[Gjest]

"Skriv det komplekse tallet [tex]1-\sqrt{3}i[/tex] på polarform og bruk svaret til å finne alle løsninger av likningen,
[tex]z^3=1-\sqrt{3}i[/tex]

Jeg fikk at: [tex]z^3=1-\sqrt{3}i[/tex]=[tex]z^3=2e^\frac{-\pi*i}{3}[/tex]
Litt usikker på hvordan jeg skal løse likningen videre- har dere tips og triks ?

[DennisChristensen]

"Skriv det komplekse tallet [tex]1-\sqrt{3}i[/tex] på polarform og bruk svaret til å finne alle løsninger av likningen,
[tex]z^3=1-\sqrt{3}i[/tex]

Jeg fikk at: [tex]z^3=1-\sqrt{3}i[/tex]=[tex]z^3=2e^\frac{-\pi*i}{3}[/tex]
Litt usikker på hvordan jeg skal løse likningen videre- har dere tips og triks ?

$1 - \sqrt{3}i$ har absoluttverdi $r = 2$ og argument $\theta = -\frac{\pi}{3}$, som du har skrevet. (ekvivalent med $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.)

Skal vi nå løse $z^3 = 1 - \sqrt{3}i$ skriver vi $1 - \sqrt{3}i$ på formen $$1 - \sqrt{3} = 2e^{\frac{5\pi}{3} + 2\pi n}, n \in \mathbb{Z}.$$ Vi tar nå tredjerot og får løsningene $$z = \sqrt[3]{2}e^{\frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}}.$$

Kun tre verdier for $n$ vil gi oss distinkte løsninger (for eksempel $n = 0,1,2$), så vi får løsningene $$z_0 = \sqrt[3]{2}e^{\frac{5\pi}{9}};$$ $$ z_1 = \sqrt[3]{2}e^{\frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi}{3}} = \sqrt[3]{2}e^{\frac{5\pi}{9} + \frac{6\pi}{9}} = \sqrt[3]{2}e^{\frac{11\pi}{9}};$$ $$ z_2 = \sqrt[3]{2}e^{\frac{5\pi}{9} + \frac{4\pi}{3}} = \sqrt[3]{2}e^{\frac{5\pi}{9} + \frac{12\pi}{9}} = \sqrt[3]{2}e^{\frac{17\pi}{9}}.$$