Fysikk-identitet
Lagt inn: 16/04-2017 18:32
Hei. Jeg prøver å vise at identiteten her stemmer ved å se på et todimensjonalt strømfelt, hvor
[tex]\mathbf{v} = v_x(x,y)\mathbf{i} + v_y(x,y)\mathbf{j}[/tex]
[tex]\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = \nabla (\frac{1}{2}\mathbf{v}^2) + (\nabla \times \mathbf{v})\times \mathbf{v}[/tex]
Forsøket så langt ser slik ut:
Venstre side
[tex]\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} = (v_x, v_y)\cdot (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial y}) = (v_x,v_y)\cdot (\frac{\partial v_x}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y}{\partial x}\mathbf{j} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y}{\partial y}\mathbf{j}) = (v_x,v_y)\cdot (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}, \frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y})[/tex]
Så ser vi på utrykket
[tex]\nabla(\frac{1}{2}\mathbf{v}^2) = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{v}^2) = \frac{1}{2} \nabla (v_x^2, v_y^2) = \frac{1}{2} (\frac{\partial \mathbf{v}^2}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{v}^2}{\partial y})\\ = \frac{1}{2}(\frac{\partial v_x^2}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y^2}{\partial x}\mathbf{j} + \frac{\partial v_x^2}{\partial y}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y^2}{\partial y}\mathbf{j}) = \frac{1}{2}( \frac{\partial v_x^2}{\partial x} + \frac{\partial v_x^2}{\partial y}, \frac{\partial v_y^2}{\partial x} + \frac{\partial v_y^2}{\partial y}) \\= \frac{1}{2}(2v_x (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}), 2v_y (\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y})) \\ = (v_x (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}), v_y (\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}))[/tex]
Men såvidt jeg kan se, så er dette uttrykket likt
[tex]\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}[/tex]
og
[tex](\nabla \times \mathbf{v}) \times \mathbf{v} \neq 0[/tex]
Så er det noen som klarer å se hva det er jeg gjør feil?
[tex]\mathbf{v} = v_x(x,y)\mathbf{i} + v_y(x,y)\mathbf{j}[/tex]
[tex]\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = \nabla (\frac{1}{2}\mathbf{v}^2) + (\nabla \times \mathbf{v})\times \mathbf{v}[/tex]
Forsøket så langt ser slik ut:
Venstre side
[tex]\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} = (v_x, v_y)\cdot (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial y}) = (v_x,v_y)\cdot (\frac{\partial v_x}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y}{\partial x}\mathbf{j} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y}{\partial y}\mathbf{j}) = (v_x,v_y)\cdot (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}, \frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y})[/tex]
Så ser vi på utrykket
[tex]\nabla(\frac{1}{2}\mathbf{v}^2) = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{v}^2) = \frac{1}{2} \nabla (v_x^2, v_y^2) = \frac{1}{2} (\frac{\partial \mathbf{v}^2}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{v}^2}{\partial y})\\ = \frac{1}{2}(\frac{\partial v_x^2}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y^2}{\partial x}\mathbf{j} + \frac{\partial v_x^2}{\partial y}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y^2}{\partial y}\mathbf{j}) = \frac{1}{2}( \frac{\partial v_x^2}{\partial x} + \frac{\partial v_x^2}{\partial y}, \frac{\partial v_y^2}{\partial x} + \frac{\partial v_y^2}{\partial y}) \\= \frac{1}{2}(2v_x (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}), 2v_y (\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y})) \\ = (v_x (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}), v_y (\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}))[/tex]
Men såvidt jeg kan se, så er dette uttrykket likt
[tex]\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}[/tex]
og
[tex](\nabla \times \mathbf{v}) \times \mathbf{v} \neq 0[/tex]
Så er det noen som klarer å se hva det er jeg gjør feil?