Fysikk-identitet

[ComradeHulaHula]

Hei. Jeg prøver å vise at identiteten her stemmer ved å se på et todimensjonalt strømfelt, hvor

[tex]\mathbf{v} = v_x(x,y)\mathbf{i} + v_y(x,y)\mathbf{j}[/tex]


[tex]\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = \nabla (\frac{1}{2}\mathbf{v}^2) + (\nabla \times \mathbf{v})\times \mathbf{v}[/tex]

Forsøket så langt ser slik ut:

Venstre side

[tex]\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} = (v_x, v_y)\cdot (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial y}) = (v_x,v_y)\cdot (\frac{\partial v_x}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y}{\partial x}\mathbf{j} + \frac{\partial v_x}{\partial y}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y}{\partial y}\mathbf{j}) = (v_x,v_y)\cdot (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}, \frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y})[/tex]

Så ser vi på utrykket

[tex]\nabla(\frac{1}{2}\mathbf{v}^2) = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{v}^2) = \frac{1}{2} \nabla (v_x^2, v_y^2) = \frac{1}{2} (\frac{\partial \mathbf{v}^2}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{v}^2}{\partial y})\\ = \frac{1}{2}(\frac{\partial v_x^2}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y^2}{\partial x}\mathbf{j} + \frac{\partial v_x^2}{\partial y}\mathbf{i} + \frac{\partial v_y^2}{\partial y}\mathbf{j}) = \frac{1}{2}( \frac{\partial v_x^2}{\partial x} + \frac{\partial v_x^2}{\partial y}, \frac{\partial v_y^2}{\partial x} + \frac{\partial v_y^2}{\partial y}) \\= \frac{1}{2}(2v_x (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}), 2v_y (\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y})) \\ = (v_x (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_x}{\partial y}), v_y (\frac{\partial v_y}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}))[/tex]

Men såvidt jeg kan se, så er dette uttrykket likt

[tex]\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}[/tex]

og

[tex](\nabla \times \mathbf{v}) \times \mathbf{v} \neq 0[/tex]

Så er det noen som klarer å se hva det er jeg gjør feil?

[Kake med tau]

Tror feilen ligger i at det er ikke er så lett å se hva som er en skalar, og hva som er en vektor. Det som er på høyresiden er en vektor, p.g.a. kryssproduktet, så da må venstresiden også være en vektor.
Siden [tex]\mathbf{v}\cdot \nabla \mathbf{v}[/tex] er en vektor, så må [tex]\nabla \mathbf{v}[/tex] være en skalar. Litt missbruk av notasjon kanskje, [tex]\nabla \mathbf{v} = \frac{\partial }{\partial x}v_x+\frac{\partial }{\partial y}v_y[/tex], så [tex]\mathbf{v}\cdot \nabla \mathbf{v} = \left ( v_x(\frac{\partial }{\partial x}v_x+\frac{\partial }{\partial y}v_y),v_y(\frac{\partial }{\partial x}v_x+\frac{\partial }{\partial y}v_y) \right )[/tex]

[Gustav]

(Bruker notasjonen $\frac{\partial}{\partial x}=\partial_x$)

Venstresida:

$(\textbf{v}\cdot \nabla)\textbf{v}=v_x\partial_x \textbf{v}+v_y\partial_y \textbf{v}=(v_x\partial_x v_x+v_y\partial_y v_x,v_x\partial_x v_y+v_y\partial_y v_y)$

Høyresida:

(Første ledd)
$\nabla \frac12\textbf{v}^2=\nabla (\frac12 (v_x^2+v_y^2)) = (\partial_x(\frac12 (v_x^2+v_y^2)),\partial_y(\frac12 (v_x^2+v_y^2)))=(v_x\partial_x v_x+v_y\partial_x v_y,v_x\partial_y v_x+v_y\partial_y v_y)$

Videre er

$\nabla \times \textbf{v}=(\partial_x, \partial_y,\partial_z) \times (v_x,v_y,0) = (0,0,\partial_x v_y-\partial_y v_x)$

, så andre ledd blir

$(\nabla \times \textbf{v})\times \textbf{v}=(0,0,\partial_x v_y-\partial_y v_x)\times (v_x,v_y,0)=(-v_y(\partial_x v_y-\partial_y v_x),v_x(\partial_x v_y-\partial_y v_x),0)=(v_y\partial_y v_x-v_y\partial_x v_y,v_x\partial_xv_y-v_x\partial_y v_x)$.

Legger vi sammen komponentvis så ser vi at VS=HS.

Edit: