mat1100 oblig 2

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
heihvordetgår

Er det noen som har begynt eller gjort oblig 2 som kunne hjulpet meg litt?


Oppgave 1. Anta at vi har et antall kuler som flytter seg mellom tre skåler; A, B og C. Hver tidsenhet vil halvparten av kulene i A flytte seg til B, halvparten av kulene i B flytte seg til C og halvparten av kulene i C flytte seg til A. La xn, yn og zn betegne antall kuler i hhv. A, B og C etter n tidsenheter, og sett xn = (xn, yn, zn) (som kolonnevektor).
a) Finn en matrise M slik at
xn+1 = 1Mxn. 2
b) Finn egenverdiene og de tilhørende egenvektorene til M.
c) Anta at x0 = 100, y0 = z0 = 0. Uttrykk x0 som en lineærkombinasjon av egenvektorene og finn x5.
d) Finn limn→∞ xn.
Gjest

Det er alltid hyggelig når folk viser litt egeninnsats.

a) $M$ må være på formen 3x3. Du vet at
$x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{z_n}{2}$
$y_{n+1}=\frac{y_n}{2}+\frac{x_n}{2}$
$z_{n+1}=\frac{z_n}{2}+\frac{y_n}{2}$

Ganger du $M$ og $x_n$ og setter det inn i ligningen får du dermed
$$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \\ z_{n+1} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ z_n \end{pmatrix}$$
$$ 2x_{n+1}=a_{1,1}x_n + a_{1,2}y_n + a_{1,3}z_n \\ 2y_{n+1}=a_{2,1}x_n + a_{2,2}y_n + a_{2,3}z_n \\ 2z_{n+1}=a_{3,1}x_n + a_{3,2}y_n + a_{3,3}z_n$$

$$ x_n+z_n=a_{1,1}x_n + a_{1,2}y_n + a_{1,3}z_n \\ y_n+x_n=a_{2,1}x_n + a_{2,2}y_n + a_{2,3}z_n \\ z_n+y_n=a_{3,1}x_n + a_{3,2}y_n + a_{3,3}z_n$$

Her burde det være greit å gjette seg frem til verdiene for $a_{i,j}$ slik at du finner en matrise.


$$ x_n+z_n=1 \cdot x_n + 0 \cdot y_n + 1 \cdot z_n \\ y_n+x_n=1 \cdot x_n + 1 \cdot y_n + 0 \cdot z_n \\ z_n+y_n=0 \cdot x_n + 1 \cdot y_n + 1 \cdot z_n$$

$$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Se hva du får til på b) og vis det gjerne om det er mer du lurer på
Hjelp ?

Gjest skrev:Det er alltid hyggelig når folk viser litt egeninnsats.

a) $M$ må være på formen 3x3. Du vet at
$x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{z_n}{2}$
$y_{n+1}=\frac{y_n}{2}+\frac{x_n}{2}$
$z_{n+1}=\frac{z_n}{2}+\frac{y_n}{2}$

Ganger du $M$ og $x_n$ og setter det inn i ligningen får du dermed
$$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \\ z_{n+1} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ z_n \end{pmatrix}$$
$$ 2x_{n+1}=a_{1,1}x_n + a_{1,2}y_n + a_{1,3}z_n \\ 2y_{n+1}=a_{2,1}x_n + a_{2,2}y_n + a_{2,3}z_n \\ 2z_{n+1}=a_{3,1}x_n + a_{3,2}y_n + a_{3,3}z_n$$

$$ x_n+z_n=a_{1,1}x_n + a_{1,2}y_n + a_{1,3}z_n \\ y_n+x_n=a_{2,1}x_n + a_{2,2}y_n + a_{2,3}z_n \\ z_n+y_n=a_{3,1}x_n + a_{3,2}y_n + a_{3,3}z_n$$

Her burde det være greit å gjette seg frem til verdiene for $a_{i,j}$ slik at du finner en matrise.


$$ x_n+z_n=1 \cdot x_n + 0 \cdot y_n + 1 \cdot z_n \\ y_n+x_n=1 \cdot x_n + 1 \cdot y_n + 0 \cdot z_n \\ z_n+y_n=0 \cdot x_n + 1 \cdot y_n + 1 \cdot z_n$$

$$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Se hva du får til på b) og vis det gjerne om det er mer du lurer på

Hei Gjest,
Sitter med samme oblig og har kommet frem til det du viser i deloppgave a, men så har et spørsmål i forhold til deloppgave b.

Jeg kommer frem til dette: [tex]\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 & -1\\ \ - 1 & \lambda - 1 & 0\\ 0 & - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} =(\lambda - 1)\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 \\ - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2 \lambda + 1) = (\lambda - 1)^3[/tex]

men det jeg lurer på gir dette en egenverdi på [tex]\lambda = 1[/tex]
eller får jeg tre egenverdier som hver er lik 1? og hvordan går jeg da videre for å finne egenvektorene ?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Hjelp ? skrev: Hei Gjest,
Sitter med samme oblig og har kommet frem til det du viser i deloppgave a, men så har et spørsmål i forhold til deloppgave b.

Jeg kommer frem til dette: [tex]\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 & -1\\ \ - 1 & \lambda - 1 & 0\\ 0 & - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} =(\lambda - 1)\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 \\ - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2 \lambda + 1) = (\lambda - 1)^3[/tex]

men det jeg lurer på gir dette en egenverdi på [tex]\lambda = 1[/tex]
eller får jeg tre egenverdier som hver er lik 1? og hvordan går jeg da videre for å finne egenvektorene ?
Du har ikke regnet ut det karakteristiske polynomet for matrisen riktig.
Se løsning her:
http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 44#p212744
Hjelp ?

DennisChristensen skrev:
Hjelp ? skrev: Hei Gjest,
Sitter med samme oblig og har kommet frem til det du viser i deloppgave a, men så har et spørsmål i forhold til deloppgave b.

Jeg kommer frem til dette: [tex]\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 & -1\\ \ - 1 & \lambda - 1 & 0\\ 0 & - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} =(\lambda - 1)\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 \\ - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2 \lambda + 1) = (\lambda - 1)^3[/tex]

men det jeg lurer på gir dette en egenverdi på [tex]\lambda = 1[/tex]
eller får jeg tre egenverdier som hver er lik 1? og hvordan går jeg da videre for å finne egenvektorene ?
Du har ikke regnet ut det karakteristiske polynomet for matrisen riktig.
Se løsning her:
http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 44#p212744

Hei Dennis!
Takk for svar :) ser hva jeg har gjort feil nå! Men jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal gå frem for å finne egenvektorene i forhold til likningen du har satt opp til slutt. Har prøvd meg frem og lurer på om jeg er på riktig spor når jeg har fått den første egenvektoren til å bli (1,1,0) ?
IkkeDennis

Hjelp ? skrev:
DennisChristensen skrev:
Hjelp ? skrev: Hei Gjest,
Sitter med samme oblig og har kommet frem til det du viser i deloppgave a, men så har et spørsmål i forhold til deloppgave b.

Jeg kommer frem til dette: [tex]\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 & -1\\ \ - 1 & \lambda - 1 & 0\\ 0 & - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} =(\lambda - 1)\begin{pmatrix} \lambda - 1 & 0 \\ - 1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2 \lambda + 1) = (\lambda - 1)^3[/tex]

men det jeg lurer på gir dette en egenverdi på [tex]\lambda = 1[/tex]
eller får jeg tre egenverdier som hver er lik 1? og hvordan går jeg da videre for å finne egenvektorene ?
Du har ikke regnet ut det karakteristiske polynomet for matrisen riktig.
Se løsning her:
http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 44#p212744

Hei Dennis!
Takk for svar :) ser hva jeg har gjort feil nå! Men jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal gå frem for å finne egenvektorene i forhold til likningen du har satt opp til slutt. Har prøvd meg frem og lurer på om jeg er på riktig spor når jeg har fått den første egenvektoren til å bli (1,1,0) ?

Hei! Jeg er ikke Dennis, men ja.. Hvis den første egenvektoren er (1,1,0), så er det dessverre feil. Men du er ganske nære på, det skal være (1,1,1). Du får løsningen på denne delen da du får da vite om du er på rett vei eller ei. Lykke til videre!
Svar