Diff-likning 2 grads hjelp

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

Har oppgaven: [tex]y''+y'=sin(x)[/tex]

[tex]y=y_h+y_p[/tex]. Jeg støter på problemer når jeg prøver å anta [tex]y_p[/tex].
Noen tips til hvordan man kan tenke når det kommer til trigonometriske uttrykk?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:Har oppgaven: [tex]y''+y'=sin(x)[/tex]

[tex]y=y_h+y_p[/tex]. Jeg støter på problemer når jeg prøver å anta [tex]y_p[/tex].
Noen tips til hvordan man kan tenke når det kommer til trigonometriske uttrykk?
Prøver $$y_p = a\sin x + b\cos x.$$

Da har vi at $$y_p' = a\cos x - b\sin x$$ og at $$y_p'' = -a\sin x - b\cos x,$$ så vi får at $$y_p'' + y_p' = (a - b)\cos x - (a + b)\sin x,$$ så $a = b = -\frac12$ og dermed får vi at $$y_p = -\frac12\left(\sin x + \cos x\right).$$
Gjest

DennisChristensen skrev:
Gjest skrev:Har oppgaven: [tex]y''+y'=sin(x)[/tex]

[tex]y=y_h+y_p[/tex]. Jeg støter på problemer når jeg prøver å anta [tex]y_p[/tex].
Noen tips til hvordan man kan tenke når det kommer til trigonometriske uttrykk?
Prøver $$y_p = a\sin x + b\cos x.$$

Da har vi at $$y_p' = a\cos x - b\sin x$$ og at $$y_p'' = -a\sin x - b\cos x,$$ så vi får at $$y_p'' + y_p' = (a - b)\cos x - (a + b)\sin x,$$ så $a = b = -\frac12$ og dermed får vi at $$y_p = -\frac12\left(\sin x + \cos x\right).$$


Jeg skjønte ikke helt siste step, når du setter dne inn.
[tex]y_p = Asin(x)+Bcos(x)[/tex]
[tex]'y_p= Acos(x)-Bsin(x)[/tex]
[tex]''y_p =-Asin(x)-Bcos(x)[/tex]

[tex]-Asin(x)-Bcos(x)+Asin(x)+Bcos(x)=sin(x)[/tex]
Skjønte ikke helt hvordan jeg går videre herfra
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:Jeg skjønte ikke helt siste step, når du setter dne inn.
[tex]y_p = Asin(x)+Bcos(x)[/tex]
[tex]'y_p= Acos(x)-Bsin(x)[/tex]
[tex]''y_p =-Asin(x)-Bcos(x)[/tex]

[tex]-Asin(x)-Bcos(x)+Asin(x)+Bcos(x)=sin(x)[/tex]
Skjønte ikke helt hvordan jeg går videre herfra
Husk hva vi prøver å gjøre, nemlig å finne én spesifikk løsning $y_p$ til differensiallikningen. Vi har gjettet at løsningen er på formen $$y_p = a\sin x + b\cos x.$$ Vi ønsker så å avgjøre for hvilke verdier for $a$ og $b$ dette vil gi oss en løsning til likningen. Da finner vi først $y_p'$ og $y_p''$ ved å derivere, og så setter vi uttrykkene inn i likningen: $$y_p'' + y_p' = \sin x$$ $$(-a\sin x - b\cos x) + (a\cos x - b\sin x) = \sin x$$ $$(a - b)\cos x - (a+b)\sin x = \sin x.$$ Derfor trenger vi at $a-b = 0$ og $a+b = -1$. Løser vi dette får vi at $a = b = -\frac12$, så $$y_p = -\frac12\sin x - \frac12\cos x.$$
Gjest

DennisChristensen skrev:
Gjest skrev:Jeg skjønte ikke helt siste step, når du setter dne inn.
[tex]y_p = Asin(x)+Bcos(x)[/tex]
[tex]'y_p= Acos(x)-Bsin(x)[/tex]
[tex]''y_p =-Asin(x)-Bcos(x)[/tex]

[tex]-Asin(x)-Bcos(x)+Asin(x)+Bcos(x)=sin(x)[/tex]
Skjønte ikke helt hvordan jeg går videre herfra
Husk hva vi prøver å gjøre, nemlig å finne én spesifikk løsning $y_p$ til differensiallikningen. Vi har gjettet at løsningen er på formen $$y_p = a\sin x + b\cos x.$$ Vi ønsker så å avgjøre for hvilke verdier for $a$ og $b$ dette vil gi oss en løsning til likningen. Da finner vi først $y_p'$ og $y_p''$ ved å derivere, og så setter vi uttrykkene inn i likningen: $$y_p'' + y_p' = \sin x$$ $$(-a\sin x - b\cos x) + (a\cos x - b\sin x) = \sin x$$ $$(a - b)\cos x - (a+b)\sin x = \sin x.$$ Derfor trenger vi at $a-b = 0$ og $a+b = -1$. Løser vi dette får vi at $a = b = -\frac12$, så $$y_p = -\frac12\sin x - \frac12\cos x.$$
Det var forståelig, tusen takk.
Men jeg ser at jeg skrev oppgaven litt feil.

Det skulle ha vært: [tex]y''+y=sin(x)[/tex]. Derfor jeg ble litt forvirret.

Jeg gjorde den slik:
Antar [tex]y_p=a*sin(x)+b*cos(x)[/tex]
[tex]'y_p= Acos(x)-Bsin(x)[/tex]
[tex]''y_p =-Asin(x)-Bcos(x)[/tex]
. Det er her jeg støter på problemer når jeg innsetter:
[tex]y''_p+y=sin(x) ->[/tex] [tex](-Asin(x)-Bcos(x))+(Asin(x)+Bcos(x))=sin(x)[/tex]

Det vil vel si at jeg må anta et annet [tex]y_p[/tex]? I såfall hva?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:Det var forståelig, tusen takk.
Men jeg ser at jeg skrev oppgaven litt feil.

Det skulle ha vært: [tex]y''+y=sin(x)[/tex]. Derfor jeg ble litt forvirret.

Jeg gjorde den slik:
Antar [tex]y_p=a*sin(x)+b*cos(x)[/tex]
[tex]'y_p= Acos(x)-Bsin(x)[/tex]
[tex]''y_p =-Asin(x)-Bcos(x)[/tex]
. Det er her jeg støter på problemer når jeg innsetter:
[tex]y''_p+y=sin(x) ->[/tex] [tex](-Asin(x)-Bcos(x))+(Asin(x)+Bcos(x))=sin(x)[/tex]

Det vil vel si at jeg må anta et annet [tex]y_p[/tex]? I såfall hva?
Ah, da blir det noe annet. Som du har påpekt så er det meningsløst å forsøke $y_p = a\sin x + b\cos x$, nettopp fordi dette jo er den generelle løsningen for $y'' + y = 0$. En må da prøve å gjette en "mer komplisert" funksjon. Som regel fungerer det å multiplisere med $x$. Om det ikke fungerer, forsøker man å multiplisere med $x^2$ osv. (ingen eksakt vitenskap, denne gjetningen). I vårt tilfelle prøver vi $$y_p = x\left(a\sin x + b\cos x\right).$$ Da får vi at $$y_p' = a\sin x + b\cos x + x\left(a\cos x - b\sin x\right)$$ og $$y_p'' = a\cos x - b\sin x + a\cos x - b\sin x - x\left(a\sin x + b\cos x\right) = 2a\cos x - 2b\sin x - x\left(a\sin x + b\cos x\right),$$ så $$y_p'' + y_p = 2a\cos x - 2b\sin x,$$ så vi setter $a = 0$ og $b = -\frac12$ og får at $y_p = -\frac12 x\cos x$.
Svar