Integral og derivasjon; toppunkt, volum og areal

[Trocken]

Hei,
Jeg er i en liten eksistensiell krise, og trenger hjelp. Dette er oppgaver som skal leveres i morgen, og jeg må få dem riktig for å kunne gå opp til eksamen. Håper det er noen her som kan hjelpe meg.

Ok, her er oppgaven;
En vase er gitt med følgende funksjon
[tex]P(x)=2+\frac{x}{1+e^{x-6}}, D_{P}=\left [ 0, 10\right ][/tex]

a) Bestem maksimalverdien til [tex]P(x)[/tex].
b) Bestem volumet til vasen med formelen [tex]V = \pi \int_{a}^{b}\left [ f(x) \right ]^{2}[/tex]. Se bort fra tykkelsen av vasen.
c) Bestem arealet av overflaten til vasen med formelen [tex]A = 2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+\left [ f'(x) \right ]^{2}}[/tex].

Jeg har prøvd:
a) Her har jeg derivert [tex]P(x)[/tex] og ender til slutt opp med [tex]\frac{e^{6}(e^{6}-e^{x}(x-1))}{(e^{x}+e^{6})^{2}}[/tex]. Jeg har dobbeltsjekket dette svaret med forskjellige kalkulatorer, og jeg tror det skal stemme. Men hva skal jeg gjøre videre for å finne maksimalverdien?

b) og c) Jeg setter inn funksjonen i de oppgitte formelene, og prøver å integrere det med grensene a=0 og b=10. Dette har jeg prøvd mange ganger, men på ett eller annet tidspunkt låser det seg, og da kommer jeg ikke videre. Utifra eksemplene i boken og andre steder skal jeg ende opp med et spesifikt tall her, men det gjør jeg altså ikke.

Vi bruker Matlab i undervisningen, så det kan godt hende at noen av disse oppgavene går an å ta inn dit?

Jeg har tenkt og grublet på dette, hørt med andre og diskutert, men kommer ingen vei. Håper noen her inne kan hjelpe meg med å finne løsningen på denne oppgaven. På forhånd; tusen takk!

- Trocken

[Fysikkmann97]

Oppgave a er feil. Deriverer du $e^{kx + b}$, hvor b er en konstant, vil du alltid få at $\frac {d}{dx} = ke^{kx + b} = e^u * u'$. Altså er den deriverte det samme som det opprinnelige uttrykket, ganget med den deriverte til eksponenten. Bruker du dette sammen med brøkregelen vil du få:


$\frac {d}{dx} (2 + \frac {x}{1 + e^{x-6}}) = \frac {1 + e^{x-6} - xe^{x-6} * 1}{(1 + e^{x-6})^2} = \frac {1 + e^{x-6}(1 - x)}{(1 + e^{x-6})^2}$

Siden nevner aldri er null, kan du løse telleren for null uten å tenke på nevneren.

$1 + e^{x-6}(1 - x) = 0 \\
1 = e^{x-6}(x - 1)
0 = (x-6) \ln e + \ln(x -1) \\
0 = x - 6 + \ln(x-1)\\
6 - x = \ln(x-1)$

Løser vha. kalkulator og får at x = 4,69.