Omdreiningslegeme

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Kongen av Tøyen

Heisann! Sliter litt med følgende oppgave:

"Når grafen til y = sin(x) mellom x = 0 og x = π/2 roteres om y-aksen dannes
en vaselignende beholder.
Regn ut volumet til denne beholderen."

Har oversikt over formelen som skal brukes og selve prinsippet med omdreiningslegemer, men problemet dukket oppnår jeg sjekket ut løsningsforslaget og så følgende:

"LF:
Volumet til beholderen kan ses på som volumet som fremkommer når arealet
mellom grafene til y = 1 og y = sin x roteres om y-aksen."

Hadde satt utrolig stor pris på om noen kunne forklart meg hvorfor jeg må inkludere y=1 i utregningen av volumet
Aftermath
Cayley
Cayley
Innlegg: 77
Registrert: 23/05-2016 23:12
Sted: Trondheim

SIn(x) evaluert i pi/2 er jo 1. Det letteste er nok å integrere opp med hensyn på x, grunnet funksjonen du skal integrere over.
Dermed skal funksjonen h=1-sin(x) integreres opp fra x=0 til x=pi/2, ganget med omkretsen i det gitte punktet. Er her y=1 kommer inn i bildet, den beskriver arealet av området.
Intgralet blir dermed: [tex]2\pi\int_{0}^{\pi/2}x(1-sin(x))dx[/tex]

Når du ser på området kan det være fristende å integrere med hensyn på y, men dette vil gi deg funksjonen x=arcsin(y), som er noe uheldig.
Synes du det er vanskelig å se anbefaler jeg å tegne det opp, du kan bruke Wolfram Alpha om du ikke gidder å tegne for hånd. :wink:
Sist redigert av Aftermath den 11/05-2017 15:34, redigert 1 gang totalt.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Aftermath skrev:SIn(x) evaluert i pi/2 er jo 1. Det letteste er nok å integrere opp med hensyn på x, grunnet funksjonen du skal integrere over.
Dermed skal funksjonen h=1-sin(x) integreres opp fra x=0 til x=pi/2, ganget med omkretsen i det gitte punktet. Er her y=1 kommer inn i bildet, den beskriver arealet av området.
Intgralet blir dermed: [tex]2\pi\int_{0}^{\pi/2}(1-sin(x)*x)dx[/tex]

Når du ser på området kan det være fristende å integrere med hensyn på y, men dette vil gi deg funksjonen x=arcsin(y), som er noe uheldig.
Synes du det er vanskelig å se anbefaler jeg å tegne det opp, du kan bruke Wolfram Alpha om du ikke gidder å tegne for hånd. :wink:
Du mener vel $\int_0^{\frac{\pi}{2}}x(1-\sin(x)) dx$? Volumet kan jo skrives som et trippelintegral som $$V = \int_{z=\sin(r)}^{1}\int_{\theta = 0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\frac{\pi}{2}}r dr d\theta dz = 2\pi\int_{r=0}^{\frac{\pi}{2}} r(1 - \sin(r)) dr.$$
Aftermath
Cayley
Cayley
Innlegg: 77
Registrert: 23/05-2016 23:12
Sted: Trondheim

Du mener vel $\int_0^{\frac{\pi}{2}}x(1-\sin(x)) dx$?
Selvfølgelig, godt sett.
Svar