matematikk.net

hei
er noen som er flinke med komplekse tall? og kan hjelpe meg og løse denne?
La z representere komplekse tall og i den imaginære enheten.
(z^2-1-i) (z^3+1) = 0

tusen takk på forhånd

Løsningene her vil være $z^2 = 1+i$ og $z^3 = -1$ ved produktregelen. Altså at $ab = 0 \ \ \Rightarrow a = 0 \vee b = 0$.

Behandle den som en valig algebraisk likning. Du sikkert ser at -1 er en reell løsning.

Er det ikke bare sånn?

[tex][z^2-(1+i)] \cdot [z^3+1]=0[/tex]

[tex]z=\pm \sqrt{1+i} \wedge \, z=\sqrt[3]{-1}[/tex]

Gjest skrev:Er det ikke bare sånn?

[tex][z^2-(1+i)] \cdot [z^3+1]=0[/tex]

[tex]z=\pm \sqrt{1+i} \wedge \, z=\sqrt[3]{-1}[/tex]

Nei. Vi begynner med likningen $[z^2 - (1+i)][z^3 + 1] = 0$. Dermed vet vi at $z^2 - (1+i) = 0$ eller $z^3 + 1 = 0$.

(Altså $z^2 - (1+i) = 0 \vee z^3 - 1$, ikke $z^2 - (1+i) = 0 \wedge z^3 + 1 = 0$.)

For å løse $z^2 = 1+i$ skriver vi først $z$ og $1 + i$ på polarform og får at $r^2e^{2i\theta} = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i + 2\pi in}$, der $n\in\mathbb{Z}$, så vi får løsningene $z_{\pm} = \pm 2^{\frac14}e^{\frac{\pi}{8}i}.$

For å løse $z^3 = -1$ skriver vi igjen $z$ og $-1$ på polarform og får at $r^3e^{3i\theta} = e^{\pi i + 2\pi in},$ der $n\in\mathbb{Z}$, så vi får løsningene $z_1 = e^{\frac{\pi}{3}i}, z_2 = -1, z_3 = e^{\frac{5\pi}{3}i}.$

DennisChristensen skrev:

Gjest skrev:Er det ikke bare sånn?

[tex][z^2-(1+i)] \cdot [z^3+1]=0[/tex]

[tex]z=\pm \sqrt{1+i} \wedge \, z=\sqrt[3]{-1}[/tex]

Nei. Vi begynner med likningen $[z^2 - (1+i)][z^3 + 1] = 0$. Dermed vet vi at $z^2 - (1+i) = 0$ eller $z^3 + 1 = 0$.

(Altså $z^2 - (1+i) = 0 \vee z^3 - 1$, ikke $z^2 - (1+i) = 0 \wedge z^3 + 1 = 0$.)

For å løse $z^2 = 1+i$ skriver vi først $z$ og $1 + i$ på polarform og får at $r^2e^{2i\theta} = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i + 2\pi in}$, der $n\in\mathbb{Z}$, så vi får løsningene $z_{\pm} = \pm 2^{\frac14}e^{\frac{\pi}{8}i}.$

For å løse $z^3 = -1$ skriver vi igjen $z$ og $-1$ på polarform og får at $r^3e^{3i\theta} = e^{\pi i + 2\pi in},$ der $n\in\mathbb{Z}$, så vi får løsningene $z_1 = e^{\frac{\pi}{3}i}, z_2 = -1, z_3 = e^{\frac{5\pi}{3}i}.$

Det er feil svar, spør oppgaveposteren bare.