Embeddings/imbeddings

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

Exercise 5.7.8 Consider smooth maps
$$M \overset{i}{\rightarrow} N \overset{j}{\rightarrow} L$$
Show that if the composite $ji$ is an imbedding, then $i$ is an imbedding.

Slenger ut enda en oppgave, jeg har klart å vise at dersom $i$ og $j$ er imbeddings så er $ji$ imbedding(composition of two imbeddings is an imbedding).

EDIT; Her er hva jeg har funnet så langt.
Siden alle embeddings er injektiv så er komposisjonen $ji$ injektiv. Dersom en komposisjon av to funksjoner er injektiv, kan det bare konkluderes at den første er injektiv, så $i$ må være injektiv. jeg trenger vell også at $i$ er en "immersion"*?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

CharlieEppes skrev:Exercise 5.7.8 Consider smooth maps
$$M \overset{i}{\rightarrow} N \overset{j}{\rightarrow} L$$
Show that if the composite $ji$ is an imbedding, then $i$ is an imbedding.
Du må vise at $i$ er injektiv, den deriverte, $T_p i$, er injektiv for alle $p\in M$ , samt at $i:M\to i(M)$ er en homeomorfi (kontinuerlig bijeksjon med kontinuerlig invers).

Dette er en ganske rett frem oppgave som løses med bevis ved motsigelse. For den første delen, la $j\circ i$ være injektiv. Anta at $i$ ikke er injektiv. Da fins $p,r\in M$ med $p\neq r$, slik at $i(p)=i(r)$. Da vil $(j\circ i)(p)=(j\circ i)(r)$, noe som motsier at $j\circ i$ er injektiv. Ergo må $i$ være injektiv. Resten blir akkurat på samme vis, tror jeg.

Når det gjelder neste del, så kan man bruke at $T_p (j\circ i)= T_{i(p)} j \circ T_p i$
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

plutarco skrev:Resten blir akkurat på samme vis, tror jeg.

Når det gjelder neste del, så kan man bruke at $T_p (j\circ i)= T_{i(p)} j \circ T_p i$
Så bevis med motsigelse(på omtrent samme måte) fungerer for den deriverte?
Homeomorfien da? i må være en homeomorfi til sitt eget bilde(mener jeg å huske?).
kontinuerlig må den vell være siden den er smooth, men surjektiv er vell ikke helt åpenbart?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

CharlieEppes skrev:
plutarco skrev:Resten blir akkurat på samme vis, tror jeg.

Når det gjelder neste del, så kan man bruke at $T_p (j\circ i)= T_{i(p)} j \circ T_p i$
Så bevis med motsigelse(på omtrent samme måte) fungerer for den deriverte?
Homeomorfien da? i må være en homeomorfi til sitt eget bilde(mener jeg å huske?).
kontinuerlig må den vell være siden den er smooth, men surjektiv er vell ikke helt åpenbart?
Når det gjelder homeomorfien så må du vise at $i$ og $i^{-1}$ er kontinuerlig, og at $i:M\to i(M)$ er bijektiv. Du vet allerede at $i$ er injektiv, så da gjenstår å vise at $i$ er surjektiv (på sitt eget bilde). Edit: Legg merke til at $i:M\to i(M)$ vil være trivielt surjektiv her! For kontinuiteten må du da vise at dersom U er åpen i M og V er åpen i N, så er $i(U)$ og $i^{-1}(V)$ åpne mengder. Edit: Siden vi allerede vet at $i$ er kontinuerlig er det nok å vise at $i^{-1}$ er kontinuerlig, som betyr at du må vise at $i(U)$ er åpen for åpne mengder U.

Når det gjelder de deriverte, så vil $T_p i$ være injektiv dersom rangen er lik dim(M).
Svar