Diff likning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

Oppgaven lyder:
[tex]4y''+9y=5sint+10cost[/tex]
[tex]y_h=4y''+0y=0[/tex]
[tex]r^2=+-i\sqrt\frac{9}{4}=+-\frac{3}{2}i[/tex]
Blir det korrekt å skrive det som: [tex]y_h=e^\frac{3}{2}(Acos\frac{3}{2}t+Bsin\frac{3}{2}t[/tex]?
Fasiten inkluderte ikke: [tex]e^\frac{3}{2}[/tex] hvorfor?

Men fortsatte ved å anta: [tex]y_p=Acostt+Bsint[/tex], [tex][tex][/tex]y_p'=Asint-Bcost[tex],[/tex] y_p''=-Acost-Bsint[/tex]
[tex]4(-Acost-Bsint)+9(Acost+Bsint)=5sint+10cost[/tex]
[tex]-4Acost-4Bsint+9Acost+9Bsint=5sint+10cost[/tex]
[tex]5Acost+5Bsint=5sint+10cost[/tex]

Fikk at: [tex]A=2[/tex] og [tex]B=1[/tex]. Fasiten fikk [tex]A=-2[/tex] og [tex]B=-1[/tex]. Uten noen forklaring . Noen som ser om/hvor jeg gjør noe feil
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:Oppgaven lyder:
[tex]4y''+9y=5sint+10cost[/tex]
[tex]y_h=4y''+0y=0[/tex]
[tex]r^2=+-i\sqrt\frac{9}{4}=+-\frac{3}{2}i[/tex]
Blir det korrekt å skrive det som: [tex]y_h=e^\frac{3}{2}(Acos\frac{3}{2}t+Bsin\frac{3}{2}t[/tex]?
Fasiten inkluderte ikke: [tex]e^\frac{3}{2}[/tex] hvorfor?

Men fortsatte ved å anta: [tex]y_p=Acostt+Bsint[/tex], [tex][tex][/tex]y_p'=Asint-Bcost[tex],[/tex] y_p''=-Acost-Bsint[/tex]
[tex]4(-Acost-Bsint)+9(Acost+Bsint)=5sint+10cost[/tex]
[tex]-4Acost-4Bsint+9Acost+9Bsint=5sint+10cost[/tex]
[tex]5Acost+5Bsint=5sint+10cost[/tex]

Fikk at: [tex]A=2[/tex] og [tex]B=1[/tex]. Fasiten fikk [tex]A=-2[/tex] og [tex]B=-1[/tex]. Uten noen forklaring . Noen som ser om/hvor jeg gjør noe feil
Angående $y_h$: fasiten har simpelthen multiplisert inn $e^{\frac{3}{2}}$ i konstantene $A$ og $B$. Svaret ditt er forsåvidt riktig, men det er mer ryddig å kvitte seg med unødvendige konstanter.

Du har funnet riktig $y_p$, så her må det enten være feil i fasiten eller så har de av en eller annen grunn gjettet $y_p = -a\cos t - b\sin t.$ Du kan for øvrig sjekke dette enkelt selv ved å verifisere at $4\frac{d^2}{dt^2}\left(2\cos t + \sin t\right) + 9(2\cos t + \sin t) = 5\sin t + 10\cos t.$
Svar