Non-vanishing sections

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

Er det slik at enhver mangfoldighet med en triviell bunt har "non-vanishing sections"(og er parallelliserbar)?
Kalles et vektorfelt glatt(smooth) om det ikke forsvinner noen sted(evt. hvilke andre kriterier må oppfylles?), eller brukes ikke ordet glatt for å karakterisere ett vektorfelt?

takker på forhånd :)
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

CharlieEppes skrev: Kalles et vektorfelt glatt(smooth) om det ikke forsvinner noen sted(evt. hvilke andre kriterier må oppfylles?), eller brukes ikke ordet glatt for å karakterisere ett vektorfelt?
Lee gir et greit kriterium for glatte vektorfelt syns jeg: Hvis Y er et vektorfelt på en glatt mangfoldighet $M$, og $(U,x^i)$ er et hvilket som helst glatt kart om punkt $p$ i $M$, så kan vi uttrykke $Y_p = \sum_i Y^i (p) \frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ for $p\in U$. Y er glatt på U hviss komponentfunksjonene $Y^i (p)$ er glatte.
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

plutarco skrev:
CharlieEppes skrev: Kalles et vektorfelt glatt(smooth) om det ikke forsvinner noen sted(evt. hvilke andre kriterier må oppfylles?), eller brukes ikke ordet glatt for å karakterisere ett vektorfelt?
Lee gir et greit kriterium for glatte vektorfelt syns jeg: Hvis Y er et vektorfelt på en glatt mangfoldighet $M$, og $(U,x^i)$ er et hvilket som helst glatt kart om punkt $p$ i $M$, så kan vi uttrykke $Y_p = \sum_i Y^i (p) \frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ for $p\in U$. Y er glatt på U hviss komponentfunksjonene $Y^i (p)$ er glatte.
Vi vet at $S^n$ har non-vanishing sections for $n : odd$ og har ikke non-vanishing sections for $n : even$. Henger dette i hop med glatte vektorfelt på en mangfoldighet? i.e., Dersom en mangfoldighet har en triviell bunt, har den glatte vektorfelt?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

CharlieEppes skrev: Dersom en mangfoldighet har en triviell bunt, har den glatte vektorfelt?
En mangfoldighet M (med dimensjon n) har triviell tangentbunt hvis og bare hvis den er paralleliserbar, som betyr at det fins n "nonvanishing" glatte vektorfelt, så svaret på dette er 'ja'.

Når det gjelder definisjonen på glatte vektorfelt er jeg usikker på om det da menes automatisk at det ikke forsvinner noe sted eller ikke. Har sett begge deler brukt. Hva sier kompendiet til Dundas?
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

plutarco skrev: Når det gjelder definisjonen på glatte vektorfelt er jeg usikker på om det da menes automatisk at det ikke forsvinner noe sted eller ikke. Har sett begge deler brukt. Hva sier kompendiet til Dundas?
Det sier ikke så mye om akkurat dette, hvertfall ikke på en måte som jeg forstår det vell og merke.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Svar