matematikk.net

Er det slik at enhver mangfoldighet med en triviell bunt har "non-vanishing sections"(og er parallelliserbar)?
Kalles et vektorfelt glatt(smooth) om det ikke forsvinner noen sted(evt. hvilke andre kriterier må oppfylles?), eller brukes ikke ordet glatt for å karakterisere ett vektorfelt?

takker på forhånd

CharlieEppes skrev: Kalles et vektorfelt glatt(smooth) om det ikke forsvinner noen sted(evt. hvilke andre kriterier må oppfylles?), eller brukes ikke ordet glatt for å karakterisere ett vektorfelt?

Lee gir et greit kriterium for glatte vektorfelt syns jeg: Hvis Y er et vektorfelt på en glatt mangfoldighet $M$, og $(U,x^i)$ er et hvilket som helst glatt kart om punkt $p$ i $M$, så kan vi uttrykke $Y_p = \sum_i Y^i (p) \frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ for $p\in U$. Y er glatt på U hviss komponentfunksjonene $Y^i (p)$ er glatte.

plutarco skrev:

CharlieEppes skrev: Kalles et vektorfelt glatt(smooth) om det ikke forsvinner noen sted(evt. hvilke andre kriterier må oppfylles?), eller brukes ikke ordet glatt for å karakterisere ett vektorfelt?

Lee gir et greit kriterium for glatte vektorfelt syns jeg: Hvis Y er et vektorfelt på en glatt mangfoldighet $M$, og $(U,x^i)$ er et hvilket som helst glatt kart om punkt $p$ i $M$, så kan vi uttrykke $Y_p = \sum_i Y^i (p) \frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ for $p\in U$. Y er glatt på U hviss komponentfunksjonene $Y^i (p)$ er glatte.

Vi vet at $S^n$ har non-vanishing sections for $n : odd$ og har ikke non-vanishing sections for $n : even$. Henger dette i hop med glatte vektorfelt på en mangfoldighet? i.e., Dersom en mangfoldighet har en triviell bunt, har den glatte vektorfelt?

CharlieEppes skrev: Dersom en mangfoldighet har en triviell bunt, har den glatte vektorfelt?

En mangfoldighet M (med dimensjon n) har triviell tangentbunt hvis og bare hvis den er paralleliserbar, som betyr at det fins n "nonvanishing" glatte vektorfelt, så svaret på dette er 'ja'.

Når det gjelder definisjonen på glatte vektorfelt er jeg usikker på om det da menes automatisk at det ikke forsvinner noe sted eller ikke. Har sett begge deler brukt. Hva sier kompendiet til Dundas?

plutarco skrev: Når det gjelder definisjonen på glatte vektorfelt er jeg usikker på om det da menes automatisk at det ikke forsvinner noe sted eller ikke. Har sett begge deler brukt. Hva sier kompendiet til Dundas?

Det sier ikke så mye om akkurat dette, hvertfall ikke på en måte som jeg forstår det vell og merke.