Riemannian metric

[CharlieEppes]

Hvordan kan man vise eksistensen av en Riemannian metrikk på en mangfoldighet, ved hjelp av "partitions of unity" ?
En fullstendig gjennomgang hadde vært greit, men grove forklaringer tas godt imot

[Gustav]

Litt usikker på hva eksakt du var i tvil om, men her er en generell forklaring:

Først har vi at en metrikk $g:T_p M\times T_p M\to R$ er en funksjon definert på tangentrommene på mangfoldigheten M, slik at følgende er oppfylt:

1.$g(u,v)=g(v,u)$
2.$g(u,v)\geq 0$
3.$g(u,u)=0$ hvis og bare hvis $u=0$
4. $g$ er i tillegg glatt: For glatte vektorfelt X og Y, så er funksjonen $p\mapsto g(X_p,Y_p)$ glatt.

Vi har allerede en kanonisk metrikk på $R^n$, $g_{can}$, definert ved at $g_{can}(\sum_i a_i \partial_i, \sum_i b_i \partial_i)=\sum_i a_ib_i$

Ideen er å definere en metrikk på M (dim(M)=n) via et atlas og den kanoniske metrikken på $R^n$. Problemet er at det generelt ikke fins en global måte å legge på koordinater på en mangfoldighet, derfor må vi bruke en overdekning av M av overlappende kart. (og det er her vi får bruk for partisjon av enheten)

Vi overdekker så M med et atlas $(U_i, f_i)$. ($f_i:U_i\to R^n$)

En partisjon av enheten er generelt en samling funksjoner $\{\rho_i(p)\}_i$ ($p\in M$), slik at $\sum_i \rho_i (p)=1$ for alle p, $\rho_i(p)\geq 0$ og $\rho_i$ er glatt.

En partisjon av enheten underlagt atlaset ovenfor, betyr bare at $\rho_i(p)$ forsvinner utenfor $U_i$.

Ved nå å definere metrikken g på M ved at

$g(u,v)=\sum_i \rho_i (p) g_{can}(d(f_i)_p(u),d(f_i)_p(v))$ der $u,v\in T_p M$ og $d(f_i)_p$ er den totalderiverte til $f_i$ i $p$ (pushforward), så ser vi at g oppfyller kravene til en metrikk. (Det er essensielt at $\rho_i$ er glatt for at metrikken g skal bli glatt)

Partisjon av enheten brukes altså for å sy sammen metrikkene lokalt til en global metrikk på hele M, på en glatt måte.

[CharlieEppes]

aaahh, jeg forstår. Nei du ser jeg leste en bok (husker ikke helt navnet; tykk og gul av springer forlag) og der stod det noe om at partisjoner av enheten ble brukt til å bevise eksistensen av en metrikk på mangfoldigheter, men jeg forstod ikke helt hva eller hvordan det ble brukt for å vise noe som helst. Men hvis det kan brukes på den måten du sier;

Partisjon av enheten brukes altså for å sy sammen metrikkene lokalt til en global metrikk på hele M, på en glatt måte.

Så gir det mening

Oppfølgnings spm. Har du ett enkelt/intuitivt eksempel på en slik konstruksjon?

[Gustav]

Oppfølgnings spm. Har du ett enkelt/intuitivt eksempel på en slik konstruksjon?

Partisjon av enheten brukes vel kun for å vise eksistensen av en metrikk, ikke til å utlede konkrete metrikker. Du kan selvsagt utføre en konstruksjon som i forrige innlegg på f.eks. S^2, ved å dekke den med f.eks. $S^2\setminus nordpolen$ og $S^2\setminus sydpolen $, bruke stereografisk projeksjon som koordinatfunksjonene, og så definere en partisjon av enheten bestående av to glatte funksjoner av den polare vinkelen som hver forsvinner på hhv. nord- og sydpolen. Det vanlige er dog å bruke pullback metrikken på S^2, som man utleder fra den vanlige parametriseringen av S^2.

Edit: Det siste er gjort for n-sfæren her: https://math.stackexchange.com/question ... ypersphere

[CharlieEppes]

Takk så mye