integral 2

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Hva med denne, forslag?

[tex]\large I_2=\int_{0}^{1/2}\frac{\cos(\pi x)}{\sqrt{1+x^2}}\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Gjest

Samme greia som forrige integral. Denne har ingen elementær antiderivert, og må estimeres annerledes. Her kan du også anvende Taylor(Maclaurin)rekke, men det kan fort bli veldig arbeidssomt. Kanskje trapesmetoden eller Simpsons metode? :)
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Som gjest sier så har vi fra tayolrrekka til $1/\sqrt{1+x^2}$ at

$ \hspace{1cm}
1 - \frac{x^2}{2} < \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} < 1
$

Ved å gange ulikheten med $\cos(\pi x)$ (som er positiv på intervalet), og integrere fra 0 til 1/2 får vi

$ \hspace{1cm}
\int_0^{1/2} \cos (\pi x) \bigl( 1 - \frac{x^2}{2} \bigr) \,\mathrm{d}x < \int_0^{1/2} \frac{\cos \pi x}{\sqrt{1 + x^2}} \,\mathrm{d}x < \int_0^{1/2} \cos \pi x \,\mathrm{d}x
$

Rett frem integrasjon gir nå

$ \hspace{1cm}
\frac{1}{\pi^3} + \frac{7}{8\pi} < \int_0^{1/2} \frac{\cos \pi x}{\sqrt{1 + x^2}} \,\mathrm{d}x < \frac{1}{\pi}
$

Som gir en svært god numerisk tilnærming til integralet. For å få flere korrekte desimaler er det jo bare å bruke flere ledd.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Svar