matematikk.net

Hva med denne, forslag?

[tex]\large I_2=\int_{0}^{1/2}\frac{\cos(\pi x)}{\sqrt{1+x^2}}\,dx[/tex]

Samme greia som forrige integral. Denne har ingen elementær antiderivert, og må estimeres annerledes. Her kan du også anvende Taylor(Maclaurin)rekke, men det kan fort bli veldig arbeidssomt. Kanskje trapesmetoden eller Simpsons metode?

Som gjest sier så har vi fra tayolrrekka til $1/\sqrt{1+x^2}$ at

$ \hspace{1cm}
1 - \frac{x^2}{2} < \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} < 1
$

Ved å gange ulikheten med $\cos(\pi x)$ (som er positiv på intervalet), og integrere fra 0 til 1/2 får vi

$ \hspace{1cm}
\int_0^{1/2} \cos (\pi x) \bigl( 1 - \frac{x^2}{2} \bigr) \,\mathrm{d}x < \int_0^{1/2} \frac{\cos \pi x}{\sqrt{1 + x^2}} \,\mathrm{d}x < \int_0^{1/2} \cos \pi x \,\mathrm{d}x
$

Rett frem integrasjon gir nå

$ \hspace{1cm}
\frac{1}{\pi^3} + \frac{7}{8\pi} < \int_0^{1/2} \frac{\cos \pi x}{\sqrt{1 + x^2}} \,\mathrm{d}x < \frac{1}{\pi}
$

Som gir en svært god numerisk tilnærming til integralet. For å få flere korrekte desimaler er det jo bare å bruke flere ledd.