Modulfiltrering

[Kake med tau]

Hei, jeg kom over dette teoremet:

La [tex]R[/tex] være en Noethersk ring, og [tex]M[/tex] en endelig generert [tex]R[/tex]-modul. Da finnes det en filtrering

[tex](0)\subset M_1\subset \dots \subset M_n=M[/tex]

Slik at [tex]\frac{M_i}{M_{i-1}}\cong \frac{R}{P_i}[/tex] for primideal [tex]P_i[/tex].

Jeg prøvde med [tex](0)\subset (x)\subset (x,y)\subset k[x,y]=R=M[/tex]
men [tex]\frac{(x,y)}{(x)}[/tex] kan ikke være på formen [tex]\frac{R}{P}[/tex], siden [tex]1 \not\in\frac{(x,y)}{(x)}[/tex]. Hva er det jeg gjør feil?

[Brahmagupta]

Du må se på $R/\mathfrak{p}$ som modul, ikke som ring. Eksempelvis for $R=k[x,y]$
er $R\cong (x)$ som $R$-moduler, ved homomorfien $r\mapsto rx$. For idealene du nevner
har vi
\[ (x,y)/(x)\cong (y)/(xy)\cong k[x,y]/(x) . \]

Merk forøvrig at resultater sier kun at det finnes en filtrasjon med den nevnte egenskapen, ikke at enhver
filtrasjon har den.

[Kake med tau]

Du må se på $R/\mathfrak{p}$ som modul, ikke som ring. Eksempelvis for $R=k[x,y]$
er $R\cong (x)$ som $R$-moduler, ved homomorfien $r\mapsto rx$. For idealene du nevner
har vi
\[ (x,y)/(x)\cong (y)/(xy)\cong k[x,y]/(x) . \]

Merk forøvrig at resultater sier kun at det finnes en filtrasjon med den nevnte egenskapen, ikke at enhver
filtrasjon har den.

Ok, tusen takk!