Eksponentiallikninger

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Audunss
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 328
Registrert: 06/01-2009 21:37

Lurer på om noen har noen tips til et problem jeg lurer på angående eksponentiallikninger.

Jeg har 2 eksponentiallikninger på formen:

[tex]f_i(t)=c_i+\sum_{j=1}^nb_j^ie^{-\kappa_j t}[/tex]

Og jeg vil ha at [tex]f_1(t)=f_2(t)\forall t\geq 0[/tex].

Hva kan man da si om parameterene [tex]c_i, b_j^i[/tex]?

Hadde det vært polynomer hadde fått man [tex]c_1=c_2[/tex] ved å sette t=0, og liknende ved å derivere og sette lik 0, jeg vil gjerne få noe tilsvarende her.

Holder dette som bevis for å vise at [tex]c_1=c_2[/tex] og [tex]b_j^1=b_j^2[/tex]:

Anta at [tex]\kappa_1>\kappa_2>...\kappa_n>0[/tex]

Da vil:

[tex]\lim_{t \to \infty}f_i(t)=c_i\ i=1,2[/tex]

og vi kan da gjøre det samme med [tex]f_i(t)-c_i[/tex] og se på [tex]\lim_{t \to \infty}f_i(t)e^{\kappa_n t}=b_n^i[/tex]

siden [tex]e^{\kappa_n-\kappa_k}<1,\ k<n[/tex] og da ved induksjon si at [tex]b_j^1=b_j^2[/tex] og [tex]c_1=c_2[/tex].


Ellers, kan man si noe tilsvarende om man har at t er begrenset, eller om [tex]\kappa<0[/tex], da faller argumentet med grenseverdien bort, men synes det virker rart
om resultatet fortsatt ikke er sant, siden vi har uendelig mange punkter in intervallet.
Svar