Idealer

[stenvik team]

IF A, B and C are right (left) Ideals in a ring R such that [tex]A\subseteq B\cup C[/tex], show that [tex]A\subseteq C[/tex] or [tex]A\subseteq B[/tex].

Jeg lurer på om beviset mitt holder (mistenker at det ikke gjør det siden jeg ikke bruker informasjonen at A B C er idealer)

Proof by contrapositive:

antar at det eksister [tex]a\in A[/tex] slik at [tex]a\notin B[/tex] og [tex]a\notin C[/tex]

[tex]a[/tex] vill dermed ikke være et element av [tex]B\cup C[/tex] som medfører at [tex]A\nsubseteq B\cup C[/tex]

[DennisChristensen]

IF A, B and C are right (left) Ideals in a ring R such that [tex]A\subseteq B\cup C[/tex], show that [tex]A\subseteq C[/tex] or [tex]A\subseteq B[/tex].

Jeg lurer på om beviset mitt holder (mistenker at det ikke gjør det siden jeg ikke bruker informasjonen at A B C er idealer)

Proof by contrapositive:

antar at det eksister [tex]a\in A[/tex] slik at [tex]a\notin B[/tex] og [tex]a\notin C[/tex]

[tex]a[/tex] vill dermed ikke være et element av [tex]B\cup C[/tex] som medfører at [tex]A\nsubseteq B\cup C[/tex]

Nei, beviset er ikke riktig. Ved å anta at det eksisterer $a \in A$ slik at $a \notin B$ og $a\notin C$ har du antatt at $A \nsubseteq B\cup C$, altså det du ønsker å bevise.

Løsningsforslag:

[+] Skjult tekst

Anta i jakt på en selvmotsigelse at $A\subseteq B\cup C$, men $A\nsubseteq B$ og $A\nsubseteq C$. Da finnes det $a_1, a_2 \in A$ slik at $a_1 \in B \setminus C$ og $a_2 \in C\setminus B$.

Da har vi at $a = a_1 + a_2 \in A \subseteq B\cup C.$

Dersom $a \in B$ har vi at $a_2 = a - a_1 \in B$, hvilket er en selvmotsigelse.
Dersom $a \in C$ har vi at $a_1 = a - a_2 \in C$, hvilket er en selvmotsigelse.

[stenvik team]

Takk for hjelpen