Gradient

[inch]

Jeg har følgende oppgave

Finn en ligning for tangentplanet til grafen til
f(x, y) = sin(e^x * ln y) i punktet (0, 1).

Hvorpå jeg tenkte å regne ut gradienten og deretter prikke den med [(x,y,z) - punktet (0,1,0)]. Med z som 0 ettersom f(0,1)=0. Men så begynte jeg å lure litt på teorien rundt gradienten. Man partiellderiverer jo uttrykket med hensyn på dx,dy og så dz. Men når jeg ser på "hurtigformler" jeg har notert meg, har jeg skrevet at gradienten til F er enten [df/dx, df/dy, -1] eller [-df/dx, -df/dy, 1].

Hvorfor blir alltid df/dz =1 og hva velger om den er positiv eller negativ?

[DennisChristensen]

Jeg har følgende oppgave

Finn en ligning for tangentplanet til grafen til
f(x, y) = sin(e^x * ln y) i punktet (0, 1).

Hvorpå jeg tenkte å regne ut gradienten og deretter prikke den med [(x,y,z) - punktet (0,1,0)]. Med z som 0 ettersom f(0,1)=0. Men så begynte jeg å lure litt på teorien rundt gradienten. Man partiellderiverer jo uttrykket med hensyn på dx,dy og så dz. Men når jeg ser på "hurtigformler" jeg har notert meg, har jeg skrevet at gradienten til F er enten [df/dx, df/dy, -1] eller [-df/dx, -df/dy, 1].

Hvorfor blir alltid df/dz =1 og hva velger om den er positiv eller negativ?

Flaten kan beskrives med likningen $F(x,y,z) = 0$, der $$F(x,y,z) = \sin\left(e^x \ln y\right) - z.$$ Fra dette ser vi at $$\nabla F = \left[\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right] = \left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, 1\right].$$

Likningen $- F(x,y,z) =z - \sin\left(e^x \ln y\right) = 0$ vil også beskrive flaten på samme vis, så fortegnet til gradientvektoren vil avhenge av hvilken av disse to likningene du bruker. Valget har riktignok ikke noe å si når du skal finne et tangentplan, da både $\nabla F$ og $-\nabla F$ vil være normalvektorer.