Hva er et greit svar på dette spørsmålet? Det blir jo det samme som å løse $m$ lineære likninger i $n$ variabler, og likningene kan jo være motsigende på alle mulige måter. Hvordan utelukker man de tilfellene mens man beholder de som faktisk kan løses?Suppose that $m<n$ and that $y_1,y_2,\dotsc,y_m$ are linear functionals on an $n$-dimensional vector space $V$. Under what conditions on the scalars $a_1,a_2,\dotsc,a_m$ is it true that there exists a vector $x\in V$such that $[x,y_j]=a_j$ for $j=1,2,\dotsc,m$?
Lineær algebra
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei, jeg har følgende oppgave i boka jeg leser:
Det er vel naturlig å gå via basiser for $V$ og det duale rommet $V^*$:
Hvis $\{e_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V$, og $\{e^*_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V^*$ så kan vi skrive
$x=\sum_{i=1}^n b_i e_i$ og $y_j= \sum_{i=1}^n c^j_i e^*_i$, der $[e_i,e_j^*]=\delta_{ij}$ er Kronecker deltafunksjonen.
Lineariteten gir da at betingelsen blir $[x,y_j]= \sum_{i=1}^{n} [b_ie_i, c^j_i e^*_i]=\sum_{i=1}^{n} b_ic^j_i=a_j$ for $j=1,2,...,m$, så betingelsene på $a_j$-ene er at det må eksistere $b_i$-er slik at disse m likningene er tilfredsstilt.
Man kan jo betrakte dette geometrisk hvis koeffisientene betraktes som reelle tall: Gitt m n-dimensjonale vektorer $c^j$ og m reelle tall $a_j$. Fins det da en n-dimensjonal vektor b slik at skalarproduktet mellom b og $c^j$ er lik $a_j$ for alle j=1,2,...,m ?
Hvis $\{e_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V$, og $\{e^*_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V^*$ så kan vi skrive
$x=\sum_{i=1}^n b_i e_i$ og $y_j= \sum_{i=1}^n c^j_i e^*_i$, der $[e_i,e_j^*]=\delta_{ij}$ er Kronecker deltafunksjonen.
Lineariteten gir da at betingelsen blir $[x,y_j]= \sum_{i=1}^{n} [b_ie_i, c^j_i e^*_i]=\sum_{i=1}^{n} b_ic^j_i=a_j$ for $j=1,2,...,m$, så betingelsene på $a_j$-ene er at det må eksistere $b_i$-er slik at disse m likningene er tilfredsstilt.
Man kan jo betrakte dette geometrisk hvis koeffisientene betraktes som reelle tall: Gitt m n-dimensjonale vektorer $c^j$ og m reelle tall $a_j$. Fins det da en n-dimensjonal vektor b slik at skalarproduktet mellom b og $c^j$ er lik $a_j$ for alle j=1,2,...,m ?
Takk for svar. Jeg fikk samme type svar selv, men syntes det var litt lite tilfredsstillende: Med tanke på at $x$ er lik $(b_1,b_2,\dotsc,b_m)$ med valget av basisen, så er jo betingelsen "det finnes $\{b_i\} $ slik at..." omtrent det samme som "det finnes en $x$ slik at..." - men det var jo akkurat det vi skulle vise! Som du viser så er det jo riktig, så jeg kan ikke se for meg noe annet svar.plutarco skrev:Det er vel naturlig å gå via basiser for $V$ og det duale rommet $V^*$:
Hvis $\{e_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V$, og $\{e^*_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V^*$ så kan vi skrive
$x=\sum_{i=1}^n b_i e_i$ og $y_j= \sum_{i=1}^n c^j_i e^*_i$, der $[e_i,e_j^*]=\delta_{ij}$ er Kronecker deltafunksjonen.
Lineariteten gir da at betingelsen blir $[x,y_j]= \sum_{i=1}^{n} [b_ie_i, c^j_i e^*_i]=\sum_{i=1}^{n} b_ic^j_i=a_j$ for $j=1,2,...,m$, så betingelsene på $a_j$-ene er at det må eksistere $b_i$-er slik at disse m likningene er tilfredsstilt.
Man kan jo betrakte dette geometrisk hvis koeffisientene betraktes som reelle tall: Gitt m n-dimensjonale vektorer $c^j$ og m reelle tall $a_j$. Fins det da en n-dimensjonal vektor b slik at skalarproduktet mellom b og $c^j$ er lik $a_j$ for alle j=1,2,...,m ?
Kanskje er dette et mer tilfredsstillende svar:
Om vi ser på [tex]y_j[/tex] som lineærfunksjonaler og [tex]x[/tex] som en vektor eller [tex]y_j[/tex] som vektorer og [tex]x[/tex] som en lineærfunksjonal er vilkårlig siden [tex]V[/tex] er endeligdimensjonalt (og vi da har en naturlig isomorfi [tex]V^{**} \cong V[/tex]). Derfor er det klart at dette alltid er mulig når [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] er lineært uavhengige.
Om [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] ikke er lineært uavhengige så utspenner de et vektorrom [tex]U \subset V[/tex] av dimensjon [tex]k < m[/tex], og WLOG er [tex]y_1,\dots,y_k[/tex] en basis for dette vektorrommet. Da er en lineærfunksjonal [tex]x[/tex] som beskrevet definert på [tex]U[/tex] av [tex][x,y_j]=a_j[/tex] for [tex]0 \leq j \leq k[/tex]. Så kriteriet på $a_j$ blir at denne konstruksjonen av $x$ er konsistent med [tex]a_j[/tex] også for [tex]k+1\leq j \leq m[/tex]. Eksplisitt betyr dette at for enhver relasjon [tex]c_1 y_1 + \cdots + c_k y_k = y_j[/tex] for [tex]k+1 \leq j \leq m[/tex] så vil [tex]c_1 a_1 + \cdots + c_k a_k = a_j .[/tex]
Om vi ser på [tex]y_j[/tex] som lineærfunksjonaler og [tex]x[/tex] som en vektor eller [tex]y_j[/tex] som vektorer og [tex]x[/tex] som en lineærfunksjonal er vilkårlig siden [tex]V[/tex] er endeligdimensjonalt (og vi da har en naturlig isomorfi [tex]V^{**} \cong V[/tex]). Derfor er det klart at dette alltid er mulig når [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] er lineært uavhengige.
Om [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] ikke er lineært uavhengige så utspenner de et vektorrom [tex]U \subset V[/tex] av dimensjon [tex]k < m[/tex], og WLOG er [tex]y_1,\dots,y_k[/tex] en basis for dette vektorrommet. Da er en lineærfunksjonal [tex]x[/tex] som beskrevet definert på [tex]U[/tex] av [tex][x,y_j]=a_j[/tex] for [tex]0 \leq j \leq k[/tex]. Så kriteriet på $a_j$ blir at denne konstruksjonen av $x$ er konsistent med [tex]a_j[/tex] også for [tex]k+1\leq j \leq m[/tex]. Eksplisitt betyr dette at for enhver relasjon [tex]c_1 y_1 + \cdots + c_k y_k = y_j[/tex] for [tex]k+1 \leq j \leq m[/tex] så vil [tex]c_1 a_1 + \cdots + c_k a_k = a_j .[/tex]
Takk for svar; jeg synes dette er en litt enklere måte å tenke på det på. Brukes beskrivelsene naturlig og kanonisk isomorfi om hverandre?jhoe06 skrev:Kanskje er dette et mer tilfredsstillende svar:
Om vi ser på [tex]y_j[/tex] som lineærfunksjonaler og [tex]x[/tex] som en vektor eller [tex]y_j[/tex] som vektorer og [tex]x[/tex] som en lineærfunksjonal er vilkårlig siden [tex]V[/tex] er endeligdimensjonalt (og vi da har en naturlig isomorfi [tex]V^{**} \cong V[/tex]). Derfor er det klart at dette alltid er mulig når [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] er lineært uavhengige.
Om [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] ikke er lineært uavhengige så utspenner de et vektorrom [tex]U \subset V[/tex] av dimensjon [tex]k < m[/tex], og WLOG er [tex]y_1,\dots,y_k[/tex] en basis for dette vektorrommet. Da er en lineærfunksjonal [tex]x[/tex] som beskrevet definert på [tex]U[/tex] av [tex][x,y_j]=a_j[/tex] for [tex]0 \leq j \leq k[/tex]. Så kriteriet på $a_j$ blir at denne konstruksjonen av $x$ er konsistent med [tex]a_j[/tex] også for [tex]k+1\leq j \leq m[/tex]. Eksplisitt betyr dette at for enhver relasjon [tex]c_1 y_1 + \cdots + c_k y_k = y_j[/tex] for [tex]k+1 \leq j \leq m[/tex] så vil [tex]c_1 a_1 + \cdots + c_k a_k = a_j .[/tex]
I praksis, ja. Men naturlig isomorfi har faktisk en presis betydning, som en isomorfi av funktorer. Kanonisk brukes ofte når det finnes en "åpenbar" måte å gjøre ting på, uten at man vil spesifisere noe mer.stensrud skrev: Takk for svar; jeg synes dette er en litt enklere måte å tenke på det på. Brukes beskrivelsene naturlig og kanonisk isomorfi om hverandre?