matematikk.net

Hei, jeg har følgende oppgave i boka jeg leser:

Suppose that $m<n$ and that $y_1,y_2,\dotsc,y_m$ are linear functionals on an $n$-dimensional vector space $V$. Under what conditions on the scalars $a_1,a_2,\dotsc,a_m$ is it true that there exists a vector $x\in V$such that $[x,y_j]=a_j$ for $j=1,2,\dotsc,m$?

Hva er et greit svar på dette spørsmålet? Det blir jo det samme som å løse $m$ lineære likninger i $n$ variabler, og likningene kan jo være motsigende på alle mulige måter. Hvordan utelukker man de tilfellene mens man beholder de som faktisk kan løses?

Kan du utdype notasjonen $[x,y_j]$?

plutarco skrev:Kan du utdype notasjonen $[x,y_j]$?

Det står for $y_i(x)$, altså verdien funksjonalen $y_i$ tar ved vektoren $x$.

Det er vel naturlig å gå via basiser for $V$ og det duale rommet $V^*$:

Hvis $\{e_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V$, og $\{e^*_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V^*$ så kan vi skrive

$x=\sum_{i=1}^n b_i e_i$ og $y_j= \sum_{i=1}^n c^j_i e^*_i$, der $[e_i,e_j^*]=\delta_{ij}$ er Kronecker deltafunksjonen.

Lineariteten gir da at betingelsen blir $[x,y_j]= \sum_{i=1}^{n} [b_ie_i, c^j_i e^*_i]=\sum_{i=1}^{n} b_ic^j_i=a_j$ for $j=1,2,...,m$, så betingelsene på $a_j$-ene er at det må eksistere $b_i$-er slik at disse m likningene er tilfredsstilt.

Man kan jo betrakte dette geometrisk hvis koeffisientene betraktes som reelle tall: Gitt m n-dimensjonale vektorer $c^j$ og m reelle tall $a_j$. Fins det da en n-dimensjonal vektor b slik at skalarproduktet mellom b og $c^j$ er lik $a_j$ for alle j=1,2,...,m ?

plutarco skrev:Det er vel naturlig å gå via basiser for $V$ og det duale rommet $V^*$:

Hvis $\{e_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V$, og $\{e^*_i\}_{i=1,2,\cdots ,n} $ er en basis for $V^*$ så kan vi skrive

$x=\sum_{i=1}^n b_i e_i$ og $y_j= \sum_{i=1}^n c^j_i e^*_i$, der $[e_i,e_j^*]=\delta_{ij}$ er Kronecker deltafunksjonen.

Lineariteten gir da at betingelsen blir $[x,y_j]= \sum_{i=1}^{n} [b_ie_i, c^j_i e^*_i]=\sum_{i=1}^{n} b_ic^j_i=a_j$ for $j=1,2,...,m$, så betingelsene på $a_j$-ene er at det må eksistere $b_i$-er slik at disse m likningene er tilfredsstilt.

Man kan jo betrakte dette geometrisk hvis koeffisientene betraktes som reelle tall: Gitt m n-dimensjonale vektorer $c^j$ og m reelle tall $a_j$. Fins det da en n-dimensjonal vektor b slik at skalarproduktet mellom b og $c^j$ er lik $a_j$ for alle j=1,2,...,m ?

Takk for svar. Jeg fikk samme type svar selv, men syntes det var litt lite tilfredsstillende: Med tanke på at $x$ er lik $(b_1,b_2,\dotsc,b_m)$ med valget av basisen, så er jo betingelsen "det finnes $\{b_i\} $ slik at..." omtrent det samme som "det finnes en $x$ slik at..." - men det var jo akkurat det vi skulle vise! Som du viser så er det jo riktig, så jeg kan ikke se for meg noe annet svar.

Kanskje er dette et mer tilfredsstillende svar:

Om vi ser på [tex]y_j[/tex] som lineærfunksjonaler og [tex]x[/tex] som en vektor eller [tex]y_j[/tex] som vektorer og [tex]x[/tex] som en lineærfunksjonal er vilkårlig siden [tex]V[/tex] er endeligdimensjonalt (og vi da har en naturlig isomorfi [tex]V^{**} \cong V[/tex]). Derfor er det klart at dette alltid er mulig når [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] er lineært uavhengige.

Om [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] ikke er lineært uavhengige så utspenner de et vektorrom [tex]U \subset V[/tex] av dimensjon [tex]k < m[/tex], og WLOG er [tex]y_1,\dots,y_k[/tex] en basis for dette vektorrommet. Da er en lineærfunksjonal [tex]x[/tex] som beskrevet definert på [tex]U[/tex] av [tex][x,y_j]=a_j[/tex] for [tex]0 \leq j \leq k[/tex]. Så kriteriet på $a_j$ blir at denne konstruksjonen av $x$ er konsistent med [tex]a_j[/tex] også for [tex]k+1\leq j \leq m[/tex]. Eksplisitt betyr dette at for enhver relasjon [tex]c_1 y_1 + \cdots + c_k y_k = y_j[/tex] for [tex]k+1 \leq j \leq m[/tex] så vil [tex]c_1 a_1 + \cdots + c_k a_k = a_j .[/tex]

jhoe06 skrev:Kanskje er dette et mer tilfredsstillende svar:

Om vi ser på [tex]y_j[/tex] som lineærfunksjonaler og [tex]x[/tex] som en vektor eller [tex]y_j[/tex] som vektorer og [tex]x[/tex] som en lineærfunksjonal er vilkårlig siden [tex]V[/tex] er endeligdimensjonalt (og vi da har en naturlig isomorfi [tex]V^{**} \cong V[/tex]). Derfor er det klart at dette alltid er mulig når [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] er lineært uavhengige.

Om [tex]y_1,\dots,y_m[/tex] ikke er lineært uavhengige så utspenner de et vektorrom [tex]U \subset V[/tex] av dimensjon [tex]k < m[/tex], og WLOG er [tex]y_1,\dots,y_k[/tex] en basis for dette vektorrommet. Da er en lineærfunksjonal [tex]x[/tex] som beskrevet definert på [tex]U[/tex] av [tex][x,y_j]=a_j[/tex] for [tex]0 \leq j \leq k[/tex]. Så kriteriet på $a_j$ blir at denne konstruksjonen av $x$ er konsistent med [tex]a_j[/tex] også for [tex]k+1\leq j \leq m[/tex]. Eksplisitt betyr dette at for enhver relasjon [tex]c_1 y_1 + \cdots + c_k y_k = y_j[/tex] for [tex]k+1 \leq j \leq m[/tex] så vil [tex]c_1 a_1 + \cdots + c_k a_k = a_j .[/tex]

Takk for svar; jeg synes dette er en litt enklere måte å tenke på det på. Brukes beskrivelsene naturlig og kanonisk isomorfi om hverandre?

stensrud skrev: Takk for svar; jeg synes dette er en litt enklere måte å tenke på det på. Brukes beskrivelsene naturlig og kanonisk isomorfi om hverandre?

I praksis, ja. Men naturlig isomorfi har faktisk en presis betydning, som en isomorfi av funktorer. Kanonisk brukes ofte når det finnes en "åpenbar" måte å gjøre ting på, uten at man vil spesifisere noe mer.