Boken min definerer kropputvidelser slik: "A field extension is a monomorphism $i:K\to L$ where $K$ and $L$ are fields; $K$ is the small field, $L$ the large field. Notice that with a strict set-theoretic definition of function, the map $i$ determines both $K$ and $L$."
Hva menes med den siste setningen - hvordan kan vi vite $L$ ut ifra $i$? For eksempel, hvis vi ser på $\mathbb{R}$ som en underkropp av $\mathbb{C}$ så vil jo $i_1:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ og $i_2:\mathbb{Q}\to \mathbb{C}$ være identiske.
Field extension
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ja, ålreit. Hva er motivasjonen for å se på kroppsutvidelsen som en funksjon istedenfor den "store" kroppen i definisjonen over?plutarco skrev:Det er vel så enkel som at definisjonen av en funksjon inkluderer både domene og kodomene. På den måten vil jo ikke dine to funksjoner $i_1$ og $i_2$ være identiske likevel, siden de har ulike kodomener.
Grunnen til at man tar med funksjonen i seg selv er at man ønsker å kunne se på kroppsutvidelser i en bredere forstand enn bare større kropper som inneholder en gitt kropp som en delmengde.stensrud skrev: Ja, ålreit. Hva er motivasjonen for å se på kroppsutvidelsen som en funksjon istedenfor den "store" kroppen i definisjonen over?
Eksempel: La $A$ være en kropp som er isomorf med $\mathbb{Q}$, og la $\phi : A\to \mathbb{Q}$ være en isomorfi, og $i:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ være inklusjonen av de rasjonale tallene i de reelle.
Da er $i\circ \phi : A\to \mathbb{R}$ en kroppsutvidelse av $A$, men $A$ er ikke nødvendigvis en delmengde av $\mathbb{R}$