Hei,
Kunne noen please vise hvordan man løser denne her?
Oppgave 35 f)
De komplekse tallene har avstand 1 til origo, på enhetssirkelen i det komplekse planet.
Anta at [tex]\: z \:[/tex] ligger på enhetssirkelen. Vis at et komplekst tall [tex]\: w \:[/tex] ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom [tex]\: z \:[/tex] hvis og bare hvis [tex]\: w+z^{2} \cdot \bar{w}=2z \:[/tex]
Tusen takk
Kompleks tall på tangent
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ $\Leftrightarrow$ det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$. Dette er igjen ekvivalent med
$z\circ w=z\circ z$. (fra lineariteten til prikkproduktet)
$\frac{\bar{z}w+z\bar{w}}{2}=z\bar{z}$ (definisjon 4 av prikkproduktet her https://proofwiki.org/wiki/Definition:D ... ex_Numbers)
$\bar{z}w+z\bar{w}=2z\bar{z}$. Gang med $z$ og bruk at $z\bar{z}=1$:
$w+z^2\bar{w}=2z$.
Edit: Ryddet opp
$z\circ w=z\circ z$. (fra lineariteten til prikkproduktet)
$\frac{\bar{z}w+z\bar{w}}{2}=z\bar{z}$ (definisjon 4 av prikkproduktet her https://proofwiki.org/wiki/Definition:D ... ex_Numbers)
$\bar{z}w+z\bar{w}=2z\bar{z}$. Gang med $z$ og bruk at $z\bar{z}=1$:
$w+z^2\bar{w}=2z$.
Edit: Ryddet opp
-
Gjest
Jeg skjønner ikke dette her, kunne vær så snill noen vise:
Oppgave 25k)
Enhetssirkelen består av komplekse tall slik at |z|=1. Vis at et komplekst tall [tex]\: w\:[/tex] ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom [tex]\: z \:[/tex] hvis og bare hvis [tex]\: w=z(1+it) \:[/tex] for et reelt tall [tex]\:t \:[/tex]
Oppgave 25k)
Enhetssirkelen består av komplekse tall slik at |z|=1. Vis at et komplekst tall [tex]\: w\:[/tex] ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom [tex]\: z \:[/tex] hvis og bare hvis [tex]\: w=z(1+it) \:[/tex] for et reelt tall [tex]\:t \:[/tex]
Litt off-topic, men hvilken bok er disse oppgavene fra? Det er ganske fine oppgaver.
Du kan betrakte $1+it$ som en parametrisering (med parameter $t$) av linjen parallell med den imaginære aksen, som går gjennom 1.Gjest skrev: Oppgave 25k)
Enhetssirkelen består av komplekse tall slik at |z|=1. Vis at et komplekst tall [tex]\: w\:[/tex] ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom [tex]\: z \:[/tex] hvis og bare hvis [tex]\: w=z(1+it) \:[/tex] for et reelt tall [tex]\:t \:[/tex]
Det som skjer når du multipliserer med $z=e^{i\theta}$ er at du roterer om origo med en vinkel $\theta$. Derfor vil $z(1+it)$ kunne tolkes som en parametrisering av tangenten til enhetssirkelen gjennom punktet $z$.
-
Gjest
Aha, ting blir så mye klarere ved geometrisk forklaring 
... men er ikke dette ekvivalent med [tex]\: w+z^2\bar{w}=2z \: \;[/tex]? Hvis ja, hvordan kan vi vise det?
... men er ikke dette ekvivalent med [tex]\: w+z^2\bar{w}=2z \: \;[/tex]? Hvis ja, hvordan kan vi vise det?
Det er oblig1 i Mat1100 Kalkulus på UiO, kan godt hende de er tatt fra en bok,Aleks855 skrev:Litt off-topic, men hvilken bok er disse oppgavene fra? Det er ganske fine oppgaver.
men jeg regner med at alle oppgavene på forumet er pga. obligen
"http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... oblig1.pdf"
[tex]\oint_C{f(z)dz} = 0[/tex]
-
Kake med tau
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
[tex]z\circ w=z\circ z[/tex]tyuiop skrev:Noen som kan forklare hvordan du kommer fra zw=zz til
z¯w+zw¯/2=zz¯ ?
[tex]\bar z\circ z\circ w=\bar z\circ z\circ z[/tex]
[tex]|z|^2w=|z|^2z[/tex]
[tex]\Rightarrow w=z \Rightarrow\bar z=\bar w[/tex]
[tex]\Rightarrow \bar z z=|z|^2=\frac{|z|^2+|z|^2}{2}=\frac{\bar z z+z\bar z}{2}=\frac{\bar z w+z\bar w}{2}[/tex]
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
-
Gjest
Hvorfor er "$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$" ekvivalent med at det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$?plutarco skrev:$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ $\Leftrightarrow$ det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$. Dette er igjen ekvivalent med
$z\circ w=z\circ z$.
$\frac{\bar{z}w+z\bar{w}}{2}=z\bar{z}$
$\bar{z}w+z\bar{w}=2z\bar{z}$. Gang med $z$ og bruk at $z\bar{z}=1$:
$w+z^2\bar{w}=2z$.
Edit: Ryddet opp
-
erikalexander
- Cayley
- Innlegg: 61
- Registrert: 31/01-2016 15:50
Vis du tegner en figur så ser du at z og (w-z) står vinkelrett på hverandre, og da er prikkproduktet nullGjest skrev:Hvorfor er "$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$" ekvivalent med at det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$?plutarco skrev:$w$ ligger på tangenten til enhetssirkelen gjennom $z$ $\Leftrightarrow$ det komplekse prikkproduktet $z\circ (w-z)=0$. Dette er igjen ekvivalent med
$z\circ w=z\circ z$.
$\frac{\bar{z}w+z\bar{w}}{2}=z\bar{z}$
$\bar{z}w+z\bar{w}=2z\bar{z}$. Gang med $z$ og bruk at $z\bar{z}=1$:
$w+z^2\bar{w}=2z$.
Edit: Ryddet opp
-
erikalexander
- Cayley
- Innlegg: 61
- Registrert: 31/01-2016 15:50
Sånn rent algebraisk så har jeg ikke noe å protestere på, men det går noen alarmer når jeg ser på geometrien .. Z og W er jo slettest ikke det samme, bortsett fra ved ett tilfelle, når t = 0 .. Noen som er god på å kurere forvirrelse her?Kake med tau skrev:[tex]z\circ w=z\circ z[/tex]tyuiop skrev:Noen som kan forklare hvordan du kommer fra zw=zz til
z¯w+zw¯/2=zz¯ ?
[tex]\bar z\circ z\circ w=\bar z\circ z\circ z[/tex]
[tex]|z|^2w=|z|^2z[/tex]
[tex]\Rightarrow w=z \Rightarrow\bar z=\bar w[/tex]
[tex]\Rightarrow \bar z z=|z|^2=\frac{|z|^2+|z|^2}{2}=\frac{\bar z z+z\bar z}{2}=\frac{\bar z w+z\bar w}{2}[/tex]
Forvirringen ligger i at uttrykket [tex]\bar z\circ z\circ w[/tex], der [tex]\circ[/tex] er prikkprodukt, ikke er veldefinert.
Dvs. at vi generelt får to forskjellige svar alt ettersom vi regner ut [tex](\bar z\circ z)\circ w[/tex] eller [tex]\bar z\circ (z\circ w)[/tex].
Derfor blir overgangen fra linje to til linje tre ugyldig. (Se også min kommentar til Plutarco under.)
Dette kan vi enkelt sjekke.
Minner om definisjonen til prikkprodukt:
La [tex]u = u_x + i\cdot u_y[/tex] og [tex]v = v_x + i\cdot v_y[/tex].
Da er [tex]u \circ v := \bar u \cdot v = u_x\cdot v_x + u_y\cdot v_y[/tex]
Regner ut: [tex](\bar z\circ z)\circ w = (z_x^2 - z_y^2)\circ w = (z_x^2 - z_y^2)\cdot w_x + 0\cdot w_y = (z_x^2 - z_y^2)\cdot w_x = z_x^2\cdot w_x - z_y^2\cdot w_x[/tex].
Regner også ut: [tex]\bar z\circ (z\circ w) =\bar z\circ (z_x\cdot w_x + z_y\cdot w_y) = z_x \cdot (z_x\cdot w_x + z_y\cdot w_y) = z_x^2\cdot w_x + z_x \cdot z_y\cdot w_y[/tex].
Disse er ikke like. Altså kan vi ikke skrive [tex]\bar z\circ z\circ w=|z|^2w[/tex], slik venstre side i overgangen fra linje to til tre legger til grunn.
Det vi derimot kan gjøre, er som følger.
Vi skriver: [tex]z\circ w= \bar z \cdot w = z_x w_x + z_y w_y[/tex].
Og siden høyresiden er reell, så kan vi komplekskonjugere uten å endre verdi:
[tex]z\circ w= \bar{\bar{z}} \cdot \bar{w} = z \cdot \bar w = \bar{z_x}\cdot \bar{w_x} + \bar{z_y}\cdot \bar{w_y} = z_x w_x + z_y w_y[/tex].
Og nå har vi to måter å skrive [tex]z\circ w[/tex] på: (1) [tex]z\circ w= \bar z \cdot w[/tex], og (2) [tex]z\circ w= z \cdot \bar w[/tex].
Legger sammen (1) og (2):
[tex]2 z\circ w= \bar z \cdot w + z \cdot \bar w[/tex]
[tex]z\circ w= \frac{\bar z \cdot w + z \cdot \bar w}2[/tex]
Som vi allerede vet skal være lik [tex]z\circ z = \bar z \cdot z = z \cdot \bar z[/tex].
Altså: [tex]\frac{\bar z \cdot w + z \cdot \bar w}2 = z \cdot \bar z[/tex]
Plutarco: Er det lov å skrive to prikkprodukter etter hverandre? Slik jeg har lært det, så tar prikkproduktet to vektorer som argument, og outputter en skalar. I utgangspunktet så er jo vektorer og skalarer to vidt forskjellige konsepter, og man kan dermed ikke prikke en vektor med en skalar, men i akkurat dette eksempelet så kan jo det reelle tallet tolkes som et komplekst tall, altså en vektor?
Dvs. at vi generelt får to forskjellige svar alt ettersom vi regner ut [tex](\bar z\circ z)\circ w[/tex] eller [tex]\bar z\circ (z\circ w)[/tex].
Derfor blir overgangen fra linje to til linje tre ugyldig. (Se også min kommentar til Plutarco under.)
Dette kan vi enkelt sjekke.
Minner om definisjonen til prikkprodukt:
La [tex]u = u_x + i\cdot u_y[/tex] og [tex]v = v_x + i\cdot v_y[/tex].
Da er [tex]u \circ v := \bar u \cdot v = u_x\cdot v_x + u_y\cdot v_y[/tex]
Regner ut: [tex](\bar z\circ z)\circ w = (z_x^2 - z_y^2)\circ w = (z_x^2 - z_y^2)\cdot w_x + 0\cdot w_y = (z_x^2 - z_y^2)\cdot w_x = z_x^2\cdot w_x - z_y^2\cdot w_x[/tex].
Regner også ut: [tex]\bar z\circ (z\circ w) =\bar z\circ (z_x\cdot w_x + z_y\cdot w_y) = z_x \cdot (z_x\cdot w_x + z_y\cdot w_y) = z_x^2\cdot w_x + z_x \cdot z_y\cdot w_y[/tex].
Disse er ikke like. Altså kan vi ikke skrive [tex]\bar z\circ z\circ w=|z|^2w[/tex], slik venstre side i overgangen fra linje to til tre legger til grunn.
Det vi derimot kan gjøre, er som følger.
Vi skriver: [tex]z\circ w= \bar z \cdot w = z_x w_x + z_y w_y[/tex].
Og siden høyresiden er reell, så kan vi komplekskonjugere uten å endre verdi:
[tex]z\circ w= \bar{\bar{z}} \cdot \bar{w} = z \cdot \bar w = \bar{z_x}\cdot \bar{w_x} + \bar{z_y}\cdot \bar{w_y} = z_x w_x + z_y w_y[/tex].
Og nå har vi to måter å skrive [tex]z\circ w[/tex] på: (1) [tex]z\circ w= \bar z \cdot w[/tex], og (2) [tex]z\circ w= z \cdot \bar w[/tex].
Legger sammen (1) og (2):
[tex]2 z\circ w= \bar z \cdot w + z \cdot \bar w[/tex]
[tex]z\circ w= \frac{\bar z \cdot w + z \cdot \bar w}2[/tex]
Som vi allerede vet skal være lik [tex]z\circ z = \bar z \cdot z = z \cdot \bar z[/tex].
Altså: [tex]\frac{\bar z \cdot w + z \cdot \bar w}2 = z \cdot \bar z[/tex]
Plutarco: Er det lov å skrive to prikkprodukter etter hverandre? Slik jeg har lært det, så tar prikkproduktet to vektorer som argument, og outputter en skalar. I utgangspunktet så er jo vektorer og skalarer to vidt forskjellige konsepter, og man kan dermed ikke prikke en vektor med en skalar, men i akkurat dette eksempelet så kan jo det reelle tallet tolkes som et komplekst tall, altså en vektor?