matematikk.net

Heisann!
Hvordan løser man denne?

[tex]\lim_{ x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^3+7x^2} -\sqrt{x^3}} {\sqrt{x}}[/tex]

Hva har du prøvd? Mulig du har vært på rett spor allerede.

Jeg har ikke prøvd den selv, men jeg ville kanskje startet med å sjekke om det fører frem ved å utvide brøken med den konjugerte av telleren.

Men det finnes nok flere måter å løse den på.

$$\begin{align*} \lim_{ x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^3+7x^2} -\sqrt{x^3}} {\sqrt{x}} & = \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 7x} - \sqrt{x^2}\right) \\
& = \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 7x} - \sqrt{x^2}\right)\frac{\sqrt{x^2 + 7x} +\sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 + 7x} + \sqrt{x^2}} \\
& = \lim_{x\to\infty}\frac{(x^2 + 7x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 7x} + \sqrt{x^2}} \\
& = \lim_{x\to\infty}\frac{7x}{\sqrt{x^2 + 7x} + x} \\
& = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}7x}{\frac{1}{x}\left(\sqrt{x^2 + 7x} + x\right)} \\
& = \lim_{x\to\infty}\frac{7}{\sqrt{1 + \frac{7}{x}} + 1} \\
& = \frac72.\end{align*}$$