Side 1 av 1
ring modulo nilpotente elementer
Lagt inn: 14/09-2017 14:10
av stenvik team
show that the set N of all nilpotent elements in a commutative ring R forms an ideal. Also show That R/N has no nonzero nilpotent elements.
Klarte første delen og lurer på om beviset mitt for del to er gyldig.
la [tex]a\in R/N=\{ a+ N : \forall n\in N\}[/tex], jeg ønsker å vise at hvis [tex]a^{n}=0 \Rightarrow a=0[/tex]
la [tex]a[/tex] være et nilpotent element i [tex]R/N[/tex] som betyr at [tex](a+N)^{n}=0[/tex], siden [tex]N[/tex] er et ideal har vi at [tex](a+N)^n=a^{n}+N=0[/tex]. Siden [tex]0\in N[/tex] medfører dette at [tex]a^{n}=0[/tex] som betyr at a er et nilpotent element i R og at det dermed er en del av mengden N.
Re: ring modulo nilpotente elementer
Lagt inn: 14/09-2017 14:30
av Gustav
stenvik team skrev:
la [tex]a\in R/N=\{ a+ N : \forall n\in N\}[/tex], jeg ønsker å vise at hvis [tex]a^{n}=0 \Rightarrow a=0[/tex]
la [tex]a[/tex] være et nilpotent element i [tex]R/N[/tex] som betyr at [tex](a+N)^{n}=0[/tex], siden [tex]N[/tex] er et ideal har vi at [tex](a+N)^n=a^{n}+N=0[/tex].
Hvis $a^n+N=0$ så må $a^n\in N \Rightarrow \exists m\in\mathbb{N} $ slik at $(a^n)^m=a^{nm}=0\Rightarrow $ $a$ er nilpotent i $R$ $\Rightarrow a\in N\Rightarrow a+N=0$.
Re: ring modulo nilpotente elementer
Lagt inn: 14/09-2017 14:40
av DennisChristensen
stenvik team skrev:show that the set N of all nilpotent elements in a commutative ring R forms an ideal. Also show That R/N has no nonzero nilpotent elements.
Klarte første delen og lurer på om beviset mitt for del to er gyldig.
la [tex]a\in R/N=\{ a+ N : \forall n\in N\}[/tex], jeg ønsker å vise at hvis [tex]a^{n}=0 \Rightarrow a=0[/tex]
la [tex]a[/tex] være et nilpotent element i [tex]R/N[/tex] som betyr at [tex](a+N)^{n}=0[/tex], siden [tex]N[/tex] er et ideal har vi at [tex](a+N)^n=a^{n}+N=0[/tex]. Siden [tex]0\in N[/tex] medfører dette at [tex]a^{n}=0[/tex] som betyr at a er et nilpotent element i R og at det dermed er en del av mengden N.
Først og fremst må du passe på om du jobber med $R$ eller $R/N$. Beviset ditt tar skade av at du blander notasjon, selv om du nok har tenkt riktig.
Løsningsforslag:
- [+] Skjult tekst
- La $r \in R$. Anta at $r + N$ er nilpotent (i $R/N$), altså at det finnes $n \in \mathbb{N}$ slik at $(r + N)^n = r^n + N = N$. Det vil si, $r^n \in N$, så $r^n$ er nilpotent (i $R$). Altså finnes det $k\in\mathbb{N}$ slik at $(r^n)^k = r^{nk} = 0_R$. Dermed ser vi også at $r$ er nilpotent, så $r \in N$, så $r + N = N$, hvilket skulle vises.
Re: ring modulo nilpotente elementer
Lagt inn: 14/09-2017 14:52
av stenvik team
takk for raske og gode svar.