R with unity is divison ring iff no nontrivial right ideals

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
stenvik team
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 29/11-2012 15:39

Show that a ring R with unity is a divison ring if and only if R has no nontrivial right ideals.

Har klart den ene veien med å anta at det eksesterer et ideal i R som ikke er trivielt. la deretter [tex]r\in I[/tex] som medfører at [tex]1=r^{-1}r\in I[/tex]
som medfører at [tex]I=R[/tex] som er en motsigelse.

sliter derimot med den andre veien.

(bruker notasjonen [tex]\triangleleft[/tex] for ideal i)

Har en ring med unity å ønsker å vise at hvis [tex]I\triangleleft R[/tex] så er [tex]I=R[/tex] eller [tex]I=(0)[/tex] medfører at [tex]\forall r\in R \Rightarrow r^{-1} \in R[/tex]

Det jeg har gjort så langt er å definere [tex]I \triangleleft R[/tex] der [tex]I\neq (0)[/tex] [tex]\Rightarrow \exists a\in I[/tex] som ikke er lik 0.
Som betyr at [tex]\{ra|r\in R\}=J[/tex] er lik et ideal i [tex]R[/tex], som dermed betyr at [tex]J=R[/tex]. Etter dette har jeg ikke kommet lengre, lurte dermed om noen kunne gi meg hint eller hele løsningen.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

stenvik team skrev:Show that a ring R with unity is a divison ring if and only if R has no nontrivial right ideals.

Har klart den ene veien med å anta at det eksesterer et ideal i R som ikke er trivielt. la deretter [tex]r\in I[/tex] som medfører at [tex]1=r^{-1}r\in I[/tex]
som medfører at [tex]I=R[/tex] som er en motsigelse.

sliter derimot med den andre veien.

(bruker notasjonen [tex]\triangleleft[/tex] for ideal i)

Har en ring med unity å ønsker å vise at hvis [tex]I\triangleleft R[/tex] så er [tex]I=R[/tex] eller [tex]I=(0)[/tex] medfører at [tex]\forall r\in R \Rightarrow r^{-1} \in R[/tex]

Det jeg har gjort så langt er å definere [tex]I \triangleleft R[/tex] der [tex]I\neq (0)[/tex] [tex]\Rightarrow \exists a\in I[/tex] som ikke er lik 0.
Som betyr at [tex]\{ra|r\in R\}=J[/tex] er lik et ideal i [tex]R[/tex], som dermed betyr at [tex]J=R[/tex]. Etter dette har jeg ikke kommet lengre, lurte dermed om noen kunne gi meg hint eller hele løsningen.
$\impliedby$: Ta $0 \neq r \in R$. Vi ønsker å vise at det finnes $s \in R$ slik at $sr = 1$. Nå, ettersom $r \neq 0$ har vi at $\langle r \rangle \neq \langle 0 \rangle$, så $\langle r \rangle = R$. Altså har vi at $1 \in \langle r \rangle$, så det finnes $s \in R$ slik at $sr = 1$.
stenvik team
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 29/11-2012 15:39

takk for hjelpen
Svar