matematikk.net

Gitt
z^3 =-4√2 - 4√2i

Finn alle verdiene z kan ha. Noen som vet hvordan jeg løser denne?

Matteermat skrev:Gitt
z^3 =-4√2 - 4√2i

Finn alle verdiene z kan ha. Noen som vet hvordan jeg løser denne?

Vi har at $$z^3 = -4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i = -4\sqrt{2}\left(1 + i\right) = -4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i + 2\pi n i} = - 8e^{\frac{\pi}{4}i + 2\pi n i},$$
der $n\in\mathbb{Z}$, så $$ z = \left(- 8e^{\frac{\pi}{4}i + 2\pi n i}\right)^{\frac13} = -2e^{\frac{\pi}{12}i + \frac23\pi n i}.$$ Altså får vi tre distinkte løsninger:
$n=0$ gir løsningen $z_0 = -2e^{\frac{\pi}{12} i};$
$n=1$ gir løsningen $z_1 = -2e^{\frac34\pi i} = -2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = \sqrt{2}\left(1 - i\right);$
$n=2$ gir løsningen $z_2 = -2e^{\frac{17}{12}\pi i}.$