Extreme points, max og min ponts. Trenger din hjelp!

[johnnyhn123]

Hei,

Noen her som kan forklare meg oppgave 1b? hvor får de funksjonen 4x-50 fra?
og hvordan de løser oppgave 2a og b? derivasjon delen for å finne stasjonærpunktene kan jeg, men hvordan de får de andre tallene aner jeg ikke :/
Tusen takk på forhånd!

Her er oppgavene


Her er fasiten

[DennisChristensen]

Hei,

Noen her som kan forklare meg oppgave 1b? hvor får de funksjonen 4x-50 fra?
og hvordan de løser oppgave 2a og b? derivasjon delen for å finne stasjonærpunktene kan jeg, men hvordan de får de andre tallene aner jeg ikke :/
Tusen takk på forhånd!

Ekstremalpunktene til $f$ ligger enten på innsiden av $S$ eller på kanten av $S$. Dersom de ligger på innsiden må de nødvendigvis ligge på et ekstremalpunkt. Nå, på kanten av $S$ har vi at $x^2 + y^2 = 25,$, så $$f(x,y) = 4x - 2x^2 - 2y^2 = 4x - 2(x^2 + y^2) = 4x - 2\cdot 25 = 4x - 50.$$ Ettersom $-5 \leq x \leq 5$ har vi at på kanten av $S$, er den minste verdien $f$ tar lik $4(-5) - 50 = -70$ og den største verdien $f$ tar lik $4\cdot 5 - 50 = -30$. Ettersom $(1,0)$ er et ekstremalpunkt og $f(1,0) = 2 > -30$ får vi ekstremalpunktene fra fasiten.

Dette gir deg kanskje nok informasjon til å klare oppgave 2?

[johnnyhn123]

Hei,

Noen her som kan forklare meg oppgave 1b? hvor får de funksjonen 4x-50 fra?
og hvordan de løser oppgave 2a og b? derivasjon delen for å finne stasjonærpunktene kan jeg, men hvordan de får de andre tallene aner jeg ikke :/
Tusen takk på forhånd!

Ekstremalpunktene til $f$ ligger enten på innsiden av $S$ eller på kanten av $S$. Dersom de ligger på innsiden må de nødvendigvis ligge på et ekstremalpunkt. Nå, på kanten av $S$ har vi at $x^2 + y^2 = 25,$, så $$f(x,y) = 4x - 2x^2 - 2y^2 = 4x - 2(x^2 + y^2) = 4x - 2\cdot 25 = 4x - 50.$$ Ettersom $-5 \leq x \leq 5$ har vi at på kanten av $S$, er den minste verdien $f$ tar lik $4(-5) - 50 = -70$ og den største verdien $f$ tar lik $4\cdot 5 - 50 = -30$. Ettersom $(1,0)$ er et ekstremalpunkt og $f(1,0) = 2 > -30$ får vi ekstremalpunktene fra fasiten.

Dette gir deg kanskje nok informasjon til å klare oppgave 2?

Hei, tusen takk! jeg forstår litt mer nå.
Men hva gjorde du får å få −5≤x≤5 ?

[DennisChristensen]

Hei, tusen takk! jeg forstår litt mer nå.
Men hva gjorde du får å få −5≤x≤5 ?

Det følger fra geometrien til figuren $S$. Vi ser at $S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 25 \}$ er en disk med sentrum i origo og radius $5$. Derav $-5 \leq x \leq 5$.