Bevis i Analyse

[Gjestis123]

Hei!

Oppgaven er: Hvis n er et element i de naturlige talla, så er kvadratroten av n, et element i de naturlige talla, eller så er kvadratroten av n ikke et element av de rasjonale talla. Bevis dette.

Sliter med å forstå beviset, noen som kan forklare dette lett?

Takk for svar!

Gjestis123

[DennisChristensen]

Hei!

Oppgaven er: Hvis n er et element i de naturlige talla, så er kvadratroten av n, et element i de naturlige talla, eller så er kvadratroten av n ikke et element av de rasjonale talla. Bevis dette.

Sliter med å forstå beviset, noen som kan forklare dette lett?

Takk for svar!

Gjestis123

Anta først at $n\in\mathbb{N}_{\geq 2}$ er et naturlig tall uten noen repeterte primtallsfaktorer (altså antar vi at det ikke finnes noe primtall $p$ slik at $p^2|n$). Vi ønsker å vise at $\sqrt{n} \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Anta i jakt på en selvmotsigelse at vi kan skrive $\sqrt{n} = \frac{a}{b}$, der $a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{N}_{\geq 1}, \text{lcm}(a,b) = 1$. Da har vi at $a^2 = nb^2$, så $n|a^2$. Ettersom $\text{lcm}(a,b) = 1$ og $n$ ikke har noen repeterte primtallsfaktorer, har vi at $n|a$. Derfor kan vi skrive $a = cn$, hvor $c\in\mathbb{N}$. Substituerer vi dette inn i vår originale likning har vi at $nb^2 = (cn)^2 = c^2n^2$, så $b^2 = nc^2$. Altså, $n|b^2$. Ettersom nødvendigvis også $\text{lcm}(a,c) = 1$ må vi igjen ha at $n|b$, hvilket motsier vår antagelse om at $\text{lcm}(a,b)=1$.

Nå, vi merker oss at alle naturlige heltall $m$ kan skrives på formen $m = p^2n$, der $p$ er produktet av alle repeterte primtallsfaktorer av $m$ (med multiplisitet), og $n$ er enten lik $1$ eller et naturlig tall $\geq 2$ uten noen repeterte primtallsfaktorer. Dermed ser vi at $n=1 \implies \sqrt{m} = p \in \mathbb{N}$, og $n\neq 1 \implies \sqrt{m} = p\sqrt{n} \in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.$

[Gustav]

Alternativt:

Bevis ved motsigelse: Anta at $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ er rasjonalt, altså at $p,q\neq 0\in\mathbb{N}$. WLOG anta $gcd(p,q)=1$. Da er $nq^2=p^2$. Hvis $r$ er en primfaktor i $n$ må $r$ være primfaktor i $p$ (definisjon av primelement), men da må $r^2$ dele $n$ (siden $gcd(p,q)=1$), altså må $n$ være et kvadrattall.