Følger og konvergens

[TRCD]

Hvordan skal man gå fram her? B oppgaven var mye mer "rett fram" hvor man fikk oppgitt en funksjon, og brukte sammenligningstesten. Hva skal man gjøre her?

4.JPG (20.6 kiB) Vist 2189 ganger

[Aleks855]

Hva skal man gjøre her?

Det handler ikke så mye om hva man skal gjøre, fordi slike oppgaver har gjerne flere måter å komme frem til riktig svar på.

Eksempelvis kan du bruke sammenlikningstesten her også.

Hint: Hvis $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergerer, så vil $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$.

[Gustav]

1. Dersom $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergerer, må $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, så det må eksistere en $m$ slik at $a_n<1$ for alle $n> m $. Dermed får vi at

$\sum_{n=1}^\infty a_n^2 = \sum_{n=1}^m a_n^2 + \sum_{n=m+1}^\infty a_n^2<...$.

2. $\ln(x+1)<x$ for alle positive $x$. Bevis: Betrakt $f(x)=x-\ln (x+1) \Rightarrow f'(x)=1-\frac{1}{x+1}>0$ for alle $x>0$. Siden $f(0)=0$ må $f(x)>0$ for alle $x>0$.

[Anonymm]

1. Dersom $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergerer, må $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, så det må eksistere en $m$ slik at $a_n<1$ for alle $n> m $. Dermed får vi at

$\sum_{n=1}^\infty a_n^2 = \sum_{n=1}^m a_n^2 + \sum_{n=m+1}^\infty a_n^2<...$.

2. $\ln(x+1)<x$ for alle positive $x$. Bevis: Betrakt $f(x)=x-\ln (x+1) \Rightarrow f'(x)=1-\frac{1}{x+1}>0$ for alle $x>0$. Siden $f(0)=0$ må $f(x)>0$ for alle $x>0$.

Kunne du utdypet hvordan du ville gått videre frem på oppgave 2? Er det bare å sette ln(1+an)/an og bruke L'hopitals regel? Får at lim n->inf 1/(1+an)=1>0. Siden vi har antatt at lim n->inf an = 0. Da konvergerer rekka.

[Gustav]

Ser riktig ut det ja.

Du kan også bruke

https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_comparison_test sammen med ulikheten i mitt forrige innlegg.

edit