kombii skrev:Hei, jeg sliter virkelig med å forstå hvordan man klarer å skille ordnet utvalg (rekkefølge) og uordnet utvalg (ikke rekkefølge) når spørsmålene blir stilt slik som dem blir gjort på bildet. Her er oppgaven:
Spørsmålet mitt er: hvordan i allverden klarer man ut ifra den teksten å finne ut hvorvidt a,b,c,d er ordnet eller uordnet? (rekkefølge eller ikke rekkefølge). Viktig å vite pga. må vite hvilken formel jeg skal bruke.
a) Gjentagelse tillatt - greit nok, da har jeg to formler å velge mellom. Andre spørsmålet: rekkefølge eller ikke rekkefølge.. hvordan vet jeg om rekkefølge er viktig eller ikke her?
Fasit: ordnet utvalg.
b) Bare forskjellige tegn, ergo ingen repetisjon/tilbakelegging. Men er det uordnet eller ordnet?
Fasit: ordnet utvalg
c) Delmendge høres ut som kombinasjon, nøyaktig 4 elementer.. høres ut som rekkefølge er viktig.. men ifølge fasiten er dette uordnet. Hvorfor?
Fasit: uordnet utvalg
D) Alfabetisk sortert, gjentakelse lovlig. Rekkefølgen høres viktig ut pga. det er alfabetisk sortert. I fasiten står det at rekkefølge ikke er viktig. Helt misvisende og alt går i mot min logikk...
Fasit: uordnet utvalg
Hvordan skal man tenke? Hvordan skille uordnet og ordnet utvalg? Blir gal..
Må svare på to spørsmål for å finne ut hvilken formel jeg skal bruke.
1. Er det tilbakelegging/repetisjon?
2. Er det ordnet utvalg eller uordet utvalg (rekkefølge/ikke rekkefølge)?
(a) Ettersom eksempelvis strengene "$ABCD$" og "$BCDA$" er forskjellige, ser vi at rekkefølgen til elementene i strengen er relevant, så utvalget er ordnet. For å finne antall forskjellige strenger merker vi at ettersom gjentagelse er tillatt, har vi $7$ valg for første element i strengen, $7$ valg for annet element i strengen osv. Altså, $\#\left(\text{strenger av lengde }4\right) = 7^4.$
(b) Av samme årsak som i (a) er utvalget ordnet. Vi tillater kun strenger uten gjentagelse, så $\#\left(\text{strenger av lengde }4\text{ med bare forskjellige tegn}\right) = 7\cdot6\cdot5\cdot4.$
(c) Nøkkelen er oppgitt i oppgaven:
rekkefølgen er uvesentlig i mengder. Altså er eksempelvis mengdene $\{A,B,C,D\}$ og $\{B,C,D,A\}$ like mengder, selv om elementenes rekkefølge er forskjellig. Dermed er utvalget uordnet, så $\#\left(\text{delmengder med nøyaktig }4\text{ elementer}\right) = {7 \choose 4}.$
(d) Trikset i en slik oppgave er å få en mer geometrisk forståelse av spørsmålet. Et ekvivalent spørsmål er: "På hvor mange forskjellige måter kan vi plassere $4$ baller i $7$ bokser?" Dette ser vi geometrisk: vi tegner opp $4$ sirkler og separerer dem med $7+1 = 8$ linjestykker for å indikere hvor vi har plassert dem i bokser. For eksempel:
$$\mid\circ\mid\circ\mid\circ\mid\circ\mid\mid\mid\mid\text{ assosieres med strengen }ABCD,$$
$$\mid\circ\circ\circ\circ\mid\mid\mid\mid\mid\mid\mid\text{ assosieres med strengen }AAAA,$$
$$\mid\circ\mid\mid\circ\circ\mid\mid\mid\mid\circ\mid \text{ assosieres med strengen }ACCG,$$
$$\mid\mid\mid\mid\mid\mid\mid\circ\circ\circ\circ\mid\text{ assosieres med strengen }GGGG.$$
Ettersom de to ytterste symbolene alltid er linjestykker, blir spørsmålet: gitt $10$ symboler, på hvor mange forskjellige måter kan vi velge ut $4$ av dem til å være sirkler? Rekkefølgen til utvalget er uvesentlig, så dette er et uordnet utvalg. Dermed får vi at $\#\left(\text{alfabetisk sorterte strenger (med gjentagelse tillatt)}\right) = {7 + 4 - 1 \choose 4} = {10 \choose 4}$.
