[tex]z^2+u^2+w^2=zu+zw+uw[/tex]
Har slitt litt med denne oppgaven, hadde satt pris på et hint eller fullstendig løsning
Komplekse tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Stringselings
- Cantor
- Innlegg: 105
- Registrert: 07/12-2014 16:05
La [tex]z, u, w[/tex] være tre komplekse tall. Vis at trekanten med hjørner i [tex]z, u, w[/tex] er likesidet hvis og bare hvis
[tex]z^2+u^2+w^2=zu+zw+uw[/tex]
Har slitt litt med denne oppgaven, hadde satt pris på et hint eller fullstendig løsning
[tex]z^2+u^2+w^2=zu+zw+uw[/tex]
Har slitt litt med denne oppgaven, hadde satt pris på et hint eller fullstendig løsning
Man kan anta at tallene [tex]z[/tex], [tex]u[/tex] og [tex]w[/tex] ligger på en sirkel med sentrum i origo med radius [tex]r[/tex] fordi det er greit å verifisere at
[tex](z+a)^2+(u+a)^2+(w+a)^2=(z+a)(u+a)+(z+a)(w+a)+(u+a)(w+a)[/tex] dersom [tex]z^2+u^2+w^2=zu+zw+uw[/tex].
På denne sirkelen om origo er det videre greit å vise at begge sider blir null dersom vi antar likesidet trekant, for da kan vi for eksempel sette [tex]z=re^{\theta_0}[/tex], [tex]u=re^{\theta_0+2\pi i/3}[/tex] og [tex]w=re^{\theta_0+4\pi i/3}[/tex] og benytte formel for sum av geometrisk rekke (men man trenger forsåvidt ikke vise at begge sider blir null for å vise at det blir likhet). Så gjenstår å vise den andre veien hvor du antar at likheten gjelder og skal vise at trekanten må bli likesidet.
[tex](z+a)^2+(u+a)^2+(w+a)^2=(z+a)(u+a)+(z+a)(w+a)+(u+a)(w+a)[/tex] dersom [tex]z^2+u^2+w^2=zu+zw+uw[/tex].
På denne sirkelen om origo er det videre greit å vise at begge sider blir null dersom vi antar likesidet trekant, for da kan vi for eksempel sette [tex]z=re^{\theta_0}[/tex], [tex]u=re^{\theta_0+2\pi i/3}[/tex] og [tex]w=re^{\theta_0+4\pi i/3}[/tex] og benytte formel for sum av geometrisk rekke (men man trenger forsåvidt ikke vise at begge sider blir null for å vise at det blir likhet). Så gjenstår å vise den andre veien hvor du antar at likheten gjelder og skal vise at trekanten må bli likesidet.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Skisse for den motsatte implikasjonen:
Vi antar at $z^2+u^2+w^2=zu+uw+wz$ og ønsker å vise at trekanten er likesidet.
Da er det naturlig å innføre $a=z-u$, $b=u-w$ og $c=w-z$ slik at det holder å
vise at $|a|=|b|=|c|$. Observer at den opprinnelige ligningen er ekvivalent
med $a^2+b^2+c^2=0$. Ved definisjon av $a,b,c$ har vi også $a+b+c=0$, hvilket
medfører
\[ 0=\frac12 (a+b+c)^2=\frac12(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)=ab+bc+ca \]
Dermed er
\[ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc =x^3-abc \]
slik at løsningene av ligningen $x^3=abc$ er nettopp $a$, $b$ og $c$.
Men vi vet at de komplekse løsningene av en ligning på formen $z^n=d$
ligger på en sirkel om origo, så vi kan slutte at $|a|=|b|=|c|$ som ønsket.
For en litt mer direkte løsning kan man også vise at relasjonene
$a^2+b^2+c^2=0=a+b+c$ impliserer at $a^2=bc$ og ved symmetri
$b^2=ac$ og $c^2=ab$ og regne med absoluttverdier på disse for å
komme frem til $|a|=|b|=|c|$ (her må man også ta i betraktning
muligheten for at for eksempel $|a|=0$, hvilket gir en degenerert
trekant.)
Vi antar at $z^2+u^2+w^2=zu+uw+wz$ og ønsker å vise at trekanten er likesidet.
Da er det naturlig å innføre $a=z-u$, $b=u-w$ og $c=w-z$ slik at det holder å
vise at $|a|=|b|=|c|$. Observer at den opprinnelige ligningen er ekvivalent
med $a^2+b^2+c^2=0$. Ved definisjon av $a,b,c$ har vi også $a+b+c=0$, hvilket
medfører
\[ 0=\frac12 (a+b+c)^2=\frac12(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)=ab+bc+ca \]
Dermed er
\[ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc =x^3-abc \]
slik at løsningene av ligningen $x^3=abc$ er nettopp $a$, $b$ og $c$.
Men vi vet at de komplekse løsningene av en ligning på formen $z^n=d$
ligger på en sirkel om origo, så vi kan slutte at $|a|=|b|=|c|$ som ønsket.
For en litt mer direkte løsning kan man også vise at relasjonene
$a^2+b^2+c^2=0=a+b+c$ impliserer at $a^2=bc$ og ved symmetri
$b^2=ac$ og $c^2=ab$ og regne med absoluttverdier på disse for å
komme frem til $|a|=|b|=|c|$ (her må man også ta i betraktning
muligheten for at for eksempel $|a|=0$, hvilket gir en degenerert
trekant.)
-
Stringselings
- Cantor
- Innlegg: 105
- Registrert: 07/12-2014 16:05
Takk for svar. Syntes den motsatte implikasjonen var ganske vanskelig.
For likningen [tex]z^n=d[/tex] må vell [tex]d[/tex] være reelt for at vi skal få en sirkel løsning.
isåfall hvordan skal man vise at [tex]d=abc[/tex] er reelt ?
For likningen [tex]z^n=d[/tex] må vell [tex]d[/tex] være reelt for at vi skal få en sirkel løsning.
isåfall hvordan skal man vise at [tex]d=abc[/tex] er reelt ?
-
OYV
Ligningen
z[tex]^n[/tex] = d
har n løsninger for alle d som er element i C ( forutsetter d ulik null). For øvrig synes jeg at
Bramaguta presenterer en interessant løsning når han beviser den motsatte implikasjonen.
Men der er en påstand jeg ikke greier å " fordøye ".
Sitat: For en litt mer direkte løsning kan man også vise at relasjonene
a^2 + b^2 + c^2 = 0 = a + b + c impliserer at a^2 = b * c
Kan du gjøre vel å utdype/grunngi denne påstanden ?
På forhånd takk .
z[tex]^n[/tex] = d
har n løsninger for alle d som er element i C ( forutsetter d ulik null). For øvrig synes jeg at
Bramaguta presenterer en interessant løsning når han beviser den motsatte implikasjonen.
Men der er en påstand jeg ikke greier å " fordøye ".
Sitat: For en litt mer direkte løsning kan man også vise at relasjonene
a^2 + b^2 + c^2 = 0 = a + b + c impliserer at a^2 = b * c
Kan du gjøre vel å utdype/grunngi denne påstanden ?
På forhånd takk .
-
Stringselings
- Cantor
- Innlegg: 105
- Registrert: 07/12-2014 16:05
1) [tex]a^2=-b^2-c^2[/tex]OYV skrev:Ligningen
z[tex]^n[/tex] = d
har n løsninger for alle d som er element i C ( forutsetter d ulik null). For øvrig synes jeg at
Bramaguta presenterer en interessant løsning når han beviser den motsatte implikasjonen.
Men der er en påstand jeg ikke greier å " fordøye ".
Sitat: For en litt mer direkte løsning kan man også vise at relasjonene
a^2 + b^2 + c^2 = 0 = a + b + c impliserer at a^2 = b * c
Kan du gjøre vel å utdype/grunngi denne påstanden ?
På forhånd takk .
2) [tex]a^2=(-b-c)^2[/tex]
(1+2)
[tex]2a^2=2bc[/tex]
[tex]a^2=bc[/tex]
Edit: skjønte [tex]z^n[/tex] greiene. Tenkte litt feil i stad
Jeg ville løst den slik: Det er klart at de komplekse tallene $x,y$ og $z$ danner en likesidet trekant hvis og bare hvis
\[ (y-x)=e^{\pm \frac{\pi}{3}}(z-x)\iff y-\frac12x-\frac12z=\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(z-x)\iff \left(y-\frac12x-\frac12z\right)^2=\left(i\frac{\sqrt{3}}{2}(z-x)\right)^2\iff x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx.\]
EDIT: Glemte en $i$ et par steder...
\[ (y-x)=e^{\pm \frac{\pi}{3}}(z-x)\iff y-\frac12x-\frac12z=\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(z-x)\iff \left(y-\frac12x-\frac12z\right)^2=\left(i\frac{\sqrt{3}}{2}(z-x)\right)^2\iff x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx.\]
EDIT: Glemte en $i$ et par steder...