Minst en løsning

[Anonymbruker1]

https://imgur.com/a/077et

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven. Tror skjæringssetningen skal brukes, men vet ikke hvordan. Kunne trengt en litt lettere forklaring. Skjønner prinsippet med skjæringssetning at hvis f(b) > 0 og f(a) < 0 så må den krysse x-aksen på ett eller annet sted f(c) = 0

[DennisChristensen]

https://imgur.com/a/077et

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven. Tror skjæringssetningen skal brukes, men vet ikke hvordan. Kunne trengt en litt lettere forklaring. Skjønner prinsippet med skjæringssetning at hvis f(b) > 0 og f(a) < 0 så må den krysse x-aksen på ett eller annet sted f(c) = 0

Dersom $f(0) = 0$ eller $f(1) = 1$ er vi ferdige, så anta at dette ikke er tilfellet. Da ser vi at $g(0) = f(0) - 0 > 0 > f(1) - 1 = g(1),$ så skjæringssetningen forteller oss at det finnes $x_0 \in \left(0,1\right)$ slik at $g(x_0)=0,$ altså at $f(x_0) = x_0$.

[Anonymbruker1]

https://imgur.com/a/077et

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven. Tror skjæringssetningen skal brukes, men vet ikke hvordan. Kunne trengt en litt lettere forklaring. Skjønner prinsippet med skjæringssetning at hvis f(b) > 0 og f(a) < 0 så må den krysse x-aksen på ett eller annet sted f(c) = 0

Dersom $f(0) = 0$ eller $f(1) = 1$ er vi ferdige, så anta at dette ikke er tilfellet. Da ser vi at $g(0) = f(0) - 0 > 0 > f(1) - 1 = g(1),$ så skjæringssetningen forteller oss at det finnes $x_0 \in \left(0,1\right)$ slik at $g(x_0)=0,$ altså at $f(x_0) = x_0$.

Hei, takk for raskt svar! Men kunne du utdype litt hva du gjør når du setter g(0) = f(0) - 0 > 0 > f(1) - 1 = g(1) og hvorfor?

[DennisChristensen]

https://imgur.com/a/077et

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven. Tror skjæringssetningen skal brukes, men vet ikke hvordan. Kunne trengt en litt lettere forklaring. Skjønner prinsippet med skjæringssetning at hvis f(b) > 0 og f(a) < 0 så må den krysse x-aksen på ett eller annet sted f(c) = 0

Dersom $f(0) = 0$ eller $f(1) = 1$ er vi ferdige, så anta at dette ikke er tilfellet. Da ser vi at $g(0) = f(0) - 0 > 0 > f(1) - 1 = g(1),$ så skjæringssetningen forteller oss at det finnes $x_0 \in \left(0,1\right)$ slik at $g(x_0)=0,$ altså at $f(x_0) = x_0$.

Hei, takk for raskt svar! Men kunne du utdype litt hva du gjør når du setter g(0) = f(0) - 0 > 0 > f(1) - 1 = g(1) og hvorfor?

Vi har introdusert hjelpefunksjonen $g(x) = f(x) - x,$ som er kontinuerlig siden $f$ er kontinuerlig. Å vise at $f(x) = x$ har en løsning for $x\in\left[0,1\right]$ er det samme som å vise at det finnes $x_0\in\left[0,1\right]$ slik at $g(x_0) = f(x_0) - x_0 = 0$. Vi ønsker altså å vise at $g$ har et nullpunkt i intervallet $[0,1]$, og bruker skjæringssetningen for å gjøre dette. For at skjæringssetningen skal kunne gi oss noe må vi vite at det finnes $x_1,x_2\in\left[0,1\right]$ slik at $g(x_1) > 0 > g(x_2).$ Merk deg at dette ikke er umiddelbart garantert (for eksempel hvis $f(x) =\text{ konstant }= 0$), men hvis vi eliminerer tilfellene hvor $f(0) = 0$ eller $f(1) = 1$ (som uansett tilfredsstiller kravet vi er ute etter), kommer vi i mål: Da har vi at $f(0) \in\left(0,1\right]$ og $f(1)\in\left[0,1\right),$ så $$g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0$$ og $$g(1) = f(1) - 1 < 1-1 = 0,$$ altså at $$g(0) > 0 > g(1),$$ så vi kan bruke skjæringssetningen.