Residyintegrasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
ErikAndre
Cayley
Cayley
Innlegg: 87
Registrert: 15/02-2016 20:21

Hei!

Jeg har en oppgave hvor jeg skal bestemme verdiene
[tex]\oint_{\mathcal{C}} \frac{\mathop{\mathrm{d}z}}{z^2+1}[/tex]
kan anta, gitt at [tex]\mathcal{C}[/tex] er en vilkårlig sirkel som ikke går gjennom [tex]z = \pm i[/tex].

Den ene delen er enkel, det er hvor tilfellet er for [tex]z<1[/tex] og [tex]z= \pm i[/tex] ligger utenfor sirkelen. Da er svaret [tex]0[/tex]. Når punktene ligger inni er jeg mer usikker. Jeg ser at vi har to enkle poler for [tex]z = \pm i[/tex], og beregner residyen i hvert punkt til å være [tex]1/(2i)[/tex] og [tex]-1/(2i)[/tex]. Da bruker jeg residyintegrasjon, som sier at
[tex]\oint_{\mathcal{C}} f(z) \mathop{\mathrm{d}z} = 2 \pi i \sum \mathop{\mathrm{Res}} f(z)[/tex]
for alle residyer som er inne i konturen. Det burde jo være så enkelt som
[tex]\oint_{\mathcal{C}} \frac{\mathop{\mathrm{d}z}}{z^2+1} = 2 \pi i \left(\frac{1}{2i} - \frac{1}{2i}\right) = 0[/tex],
men fasiten sier [tex]\pm \pi[/tex]. Hvor gjør jeg feil?
ErikAndre
Cayley
Cayley
Innlegg: 87
Registrert: 15/02-2016 20:21

Og der så jeg feilen. Oppgaven spesifiserer aldri at sirkelen skal ha sentrum i origo, så den kan jo selvfølgelig omslutte kun en av singularitetene. Der blir verdien selvsagt [tex]\pm \pi[/tex].
Svar