Residyintegrasjon
Lagt inn: 11/12-2017 12:22
Hei!
Jeg har en oppgave hvor jeg skal bestemme verdiene
[tex]\oint_{\mathcal{C}} \frac{\mathop{\mathrm{d}z}}{z^2+1}[/tex]
kan anta, gitt at [tex]\mathcal{C}[/tex] er en vilkårlig sirkel som ikke går gjennom [tex]z = \pm i[/tex].
Den ene delen er enkel, det er hvor tilfellet er for [tex]z<1[/tex] og [tex]z= \pm i[/tex] ligger utenfor sirkelen. Da er svaret [tex]0[/tex]. Når punktene ligger inni er jeg mer usikker. Jeg ser at vi har to enkle poler for [tex]z = \pm i[/tex], og beregner residyen i hvert punkt til å være [tex]1/(2i)[/tex] og [tex]-1/(2i)[/tex]. Da bruker jeg residyintegrasjon, som sier at
[tex]\oint_{\mathcal{C}} f(z) \mathop{\mathrm{d}z} = 2 \pi i \sum \mathop{\mathrm{Res}} f(z)[/tex]
for alle residyer som er inne i konturen. Det burde jo være så enkelt som
[tex]\oint_{\mathcal{C}} \frac{\mathop{\mathrm{d}z}}{z^2+1} = 2 \pi i \left(\frac{1}{2i} - \frac{1}{2i}\right) = 0[/tex],
men fasiten sier [tex]\pm \pi[/tex]. Hvor gjør jeg feil?
Jeg har en oppgave hvor jeg skal bestemme verdiene
[tex]\oint_{\mathcal{C}} \frac{\mathop{\mathrm{d}z}}{z^2+1}[/tex]
kan anta, gitt at [tex]\mathcal{C}[/tex] er en vilkårlig sirkel som ikke går gjennom [tex]z = \pm i[/tex].
Den ene delen er enkel, det er hvor tilfellet er for [tex]z<1[/tex] og [tex]z= \pm i[/tex] ligger utenfor sirkelen. Da er svaret [tex]0[/tex]. Når punktene ligger inni er jeg mer usikker. Jeg ser at vi har to enkle poler for [tex]z = \pm i[/tex], og beregner residyen i hvert punkt til å være [tex]1/(2i)[/tex] og [tex]-1/(2i)[/tex]. Da bruker jeg residyintegrasjon, som sier at
[tex]\oint_{\mathcal{C}} f(z) \mathop{\mathrm{d}z} = 2 \pi i \sum \mathop{\mathrm{Res}} f(z)[/tex]
for alle residyer som er inne i konturen. Det burde jo være så enkelt som
[tex]\oint_{\mathcal{C}} \frac{\mathop{\mathrm{d}z}}{z^2+1} = 2 \pi i \left(\frac{1}{2i} - \frac{1}{2i}\right) = 0[/tex],
men fasiten sier [tex]\pm \pi[/tex]. Hvor gjør jeg feil?