Har fått oppgitt en oppgave(se vedlegg). Kan noen forklare fremgangsmåten for følgende løsning?
d/dx (tanx) = 1+(tanx)^2
(Vet fra før at: d/dx (tanx) = 1/(cosx)^2)
På forhånd, takk!
Derivasjon av tan(x)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{d}{dx}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\sin(x)'\cos(x)-\sin(x)\cos(x)'}{cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)[/tex]Chriskax skrev:Har fått oppgitt en oppgave(se vedlegg). Kan noen forklare fremgangsmåten for følgende løsning?
d/dx (tanx) = 1+(tanx)^2
(Vet fra før at: d/dx (tanx) = 1/(cosx)^2)
På forhånd, takk!
Betrakt så [tex]\sec^2(x)-\tan^2(x)[/tex]
Vi kan se at det er det samme som å si at [tex]\frac{1}{\cos^2(x)}-\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1-\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=1[/tex] ergo kan vi se at [tex]\sec^2(x)-\tan^2(x)=1\Leftrightarrow \sec^2(x)=1+\tan^2(x)[/tex]
Som fra første linje da er det samme som at [tex]\frac{d}{dx}\tan(x)=1+\tan^2(x)[/tex]
[tex]\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan{x}) = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin{x})\cos{x}-\sin{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos{x})}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2{x}-\sin{x}(-\sin{x})}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)^2 = 1+\tan^2{x}[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan{x}) = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin{x})\cos{x}-\sin{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos{x})}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2{x}-\sin{x}(-\sin{x})}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)^2 = 1+\tan^2{x}[/tex]