Ett radioaktivt materialet har en halveringstid på $t_{1/2}$ år, og til å begynne med har vi en mengde $N_0$ av stoffet. Videre spør oppgaven om hvor lang tid (hvor mange halveringsperioder) det tar før det er igjen 1/5 av det opprinnelige stofftet og hvor mye radioaktivt materialet som er igjen etter $3$ halveringsperioder.
Denne biten går fint, her setter jeg opp likningen og løser den
$\displaystyle\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = - \lambda \cdot N
$
Problemet kommer når jeg skal svare på denne oppgaven. Jeg ser to muligheter når det kommer til å sette opp differensiallikningenGrunnet forurensning i området blir det årlig tilført en mengde $a$ radioaktivt materialet til området.
Sett opp den nye differensiallikningen og igjen besvar spørsmålene ovenfor.
$\displaystyle\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = - \lambda \cdot N + a \qquad \text{eller} \qquad \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = - \lambda (N - a)
$
Førstnevnte liker jeg fordi når endringen er null, altså når det radioaktive materialet stabiliserer seg. Stabiliserer det seg på nivået $a/\lambda$ som i mine øyne gir mening. Vi legger på $a$ hvert år, og før eller siden er det såpass mye materialet at i løpet av ett år, mister man like mye som man slenger inn. Den andre differensiallikningen får da ut $a$ som gir mindre mening. Legger vi på 1kg hvert år, gir det liten mening at den stabiliserer seg på $1$ kg.
Det jeg liker med differensiallikningen til høyre er at vi ganger proporsjonalitetskonstanten med hele stoffmengden. Det står jo at endringen er proporsjonal med den gjenværende stoffmengden, og denne må jo være $N+a$ ikke sant? Den første differensiallikningen tar jo ikke i betraktning dette.
Ett annet problem med den første differensiallikningen er at den gir meg følgende løsning
$\hspace{1cm}
N(t) = C e^{-\lambda t} + \frac{a}{\lambda}
$
Her må $C$ og $\lambda$ finnes ut i fra initialbetingelsene $N(0) = N_0$ og $N(t_{1/2}) = \frac{1}{2}N_0$, men dette leder til ett ulineært likningsett som jeg ikke klarer å løse analytisk, bare numerisk for gitte verdier.
Det jeg spør etter er nok hvilken differensiallikning blir rett og er det mulig å besvare den opprinnelige problemstillingen nøyaktig?