b) p er et primtall større enn 3. Hvike rest kan da p gi når talle divideres med ?
Det hadde vært hyggelig om noen kunne fortelle/forklare skviseloven
problem!
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mikael1987
- Cayley
- Innlegg: 84
- Registrert: 01/11-2006 22:04
a) Finn resten når 4444^4444 deles på 9!
b) p er et primtall større enn 3. Hvike rest kan da p gi når talle divideres med ?
Det hadde vært hyggelig om noen kunne fortelle/forklare skviseloven
b) p er et primtall større enn 3. Hvike rest kan da p gi når talle divideres med ?
Det hadde vært hyggelig om noen kunne fortelle/forklare skviseloven
a) Siden jeg ikke kommer på et fint teorem å bruke i denne sammenhengen, løser jeg denne på en nokså brutal måte: La oss først undersøke 4444[sup]4444[/sup] (mod 2[sup]8[/sup]), (mod 3[sup]4[/sup]), (mod 5[sup]2[/sup]) og (mod 7). 4444 = 2[sup]2[/sup]*11*101.
[tex]4444^{4444} \equiv 2^{8888}1111^{4444} \equiv 0 \pmod {2^9}[/tex]
[tex]\varphi(3^4) = 54 \Rightarrow 4444^{82 \cdot 54+16} \equiv (-11)^{16} \equiv 40^8 \equiv 61^4 \equiv 76^2 \equiv 25 \pmod{3^4} [/tex]
[tex]4444^{4444}\equiv (-6)^{16} \equiv 11^8 \equiv (-4)^4 \equiv 6 \pmod {5^2}[/tex]
[tex]4444^{4444} \equiv 6^{16} \equiv 1 \pmod 7 [/tex]
Vi har x [symbol:identisk] 0 (mod 512), x [symbol:identisk] 25 (mod 81), x [symbol:identisk] 6 (mod 25) og x [symbol:identisk] 1 (mod 7)
Ved å løse systemet på papir gjennom repetert substitusjon, fikk jeg x [symbol:identisk] 512((81(4*25+13)+53) [symbol:identisk] 4713472
[symbol:identisk] 358912 (mod 9!)
Prøv å verifisere dette
b) Når p deles med hva?
"Squeeze theorem," som hentet fra mine forelesningsnotater:
Anta at vi har sekvenser av reelle tall [tex]\{ a_n \}, \ \{ b_n \}, \ \{ c_n \}[/tex] der [tex]a_n \leq bn \leq c_n \ \ \forall n \in \mathbb{N}[/tex]. Dersom [tex]\lim _{n \rightarrow \infty} a_n = \lim _{n \rightarrow \infty} c_n = L \ < \ \infty[/tex], er [tex]\lim _{n \rightarrow \infty} b_n = L[/tex]
Med andre ord: Dersom b er "skvist" mellom sekvensene a og c, og a og c går mot samme grenseverdi, vil det tvinge sekvens b til å ha den samme grenseverdien.
[tex]4444^{4444} \equiv 2^{8888}1111^{4444} \equiv 0 \pmod {2^9}[/tex]
[tex]\varphi(3^4) = 54 \Rightarrow 4444^{82 \cdot 54+16} \equiv (-11)^{16} \equiv 40^8 \equiv 61^4 \equiv 76^2 \equiv 25 \pmod{3^4} [/tex]
[tex]4444^{4444}\equiv (-6)^{16} \equiv 11^8 \equiv (-4)^4 \equiv 6 \pmod {5^2}[/tex]
[tex]4444^{4444} \equiv 6^{16} \equiv 1 \pmod 7 [/tex]
Vi har x [symbol:identisk] 0 (mod 512), x [symbol:identisk] 25 (mod 81), x [symbol:identisk] 6 (mod 25) og x [symbol:identisk] 1 (mod 7)
Ved å løse systemet på papir gjennom repetert substitusjon, fikk jeg x [symbol:identisk] 512((81(4*25+13)+53) [symbol:identisk] 4713472
[symbol:identisk] 358912 (mod 9!)
Prøv å verifisere dette
b) Når p deles med hva?
"Squeeze theorem," som hentet fra mine forelesningsnotater:
Anta at vi har sekvenser av reelle tall [tex]\{ a_n \}, \ \{ b_n \}, \ \{ c_n \}[/tex] der [tex]a_n \leq bn \leq c_n \ \ \forall n \in \mathbb{N}[/tex]. Dersom [tex]\lim _{n \rightarrow \infty} a_n = \lim _{n \rightarrow \infty} c_n = L \ < \ \infty[/tex], er [tex]\lim _{n \rightarrow \infty} b_n = L[/tex]
Med andre ord: Dersom b er "skvist" mellom sekvensene a og c, og a og c går mot samme grenseverdi, vil det tvinge sekvens b til å ha den samme grenseverdien.
-
mikael1987
- Cayley
- Innlegg: 84
- Registrert: 01/11-2006 22:04
Jeg har også et annet spørsmål.
Hadde vært fint om du/noen kunne forklare meg Wilsons teorem, og bruke det til å løse oppg:
Finn resten år 15! deles på 17....
Hadde vært fint om du/noen kunne forklare meg Wilsons teorem, og bruke det til å løse oppg:
Finn resten år 15! deles på 17....
Wilsons teorem sier at dersom p er et primtall så:
[tex](p-1)! \equiv -1 \pmod p[/tex]
[tex]16! \equiv -1 \equiv 16 \pmod {17} \\ \Rightarrow 15! \equiv \frac{16!}{16} \equiv \frac{16}{16} \equiv 1 \pmod {17}[/tex]
Det er dessverre et par småfeil i løsningsforslaget mitt over. Utregningene module 25 og modulo 7 er feil, siden jeg i farten kom til å bruke resultatet for totientfunksjonen av 81 for begge. Jeg skal rette opp i det en gang jeg har mer tid. Du ser ihvertfall i hvilke baner jeg tenkte for å løse oppgaven
[tex](p-1)! \equiv -1 \pmod p[/tex]
[tex]16! \equiv -1 \equiv 16 \pmod {17} \\ \Rightarrow 15! \equiv \frac{16!}{16} \equiv \frac{16}{16} \equiv 1 \pmod {17}[/tex]
Det er dessverre et par småfeil i løsningsforslaget mitt over. Utregningene module 25 og modulo 7 er feil, siden jeg i farten kom til å bruke resultatet for totientfunksjonen av 81 for begge. Jeg skal rette opp i det en gang jeg har mer tid. Du ser ihvertfall i hvilke baner jeg tenkte for å løse oppgaven
-
mikael1987
- Cayley
- Innlegg: 84
- Registrert: 01/11-2006 22:04
Hei.
Slik jeg har forstått å er
15!=1*2*3............*15
men hvorfor får du at
15! [symbol:identisk] 16!/16 ???
Slik jeg har forstått å er
15!=1*2*3............*15
men hvorfor får du at
15! [symbol:identisk] 16!/16 ???
