Heltallspolynom

[Karl_Erik]

i) Vis at det ikke finnes noe polynom med rasjonale koeffisienter som tar heltallsverdier på alle heltall unntatt nøyaktig ett - dvs at det ikke finnes noe polynom [tex]P(x)[/tex] med rasjonale koeffisienter slik at [tex]P(n) \in \mathbb{N}[/tex] for alle heltall [tex]n[/tex] unntatt nøyaktig ett.

ii) Finnes det noe polynom med egenskapene i i) om det kan ha reelle koeffisienter?

[mrcreosote]

La P være et reelt polynom av grad d og anta P(0) ikke er hel, mens P(n) er hel for alle andre hele n. Definer [tex]\Delta_1(x)=P(x)-P(x-1)[/tex] og videre [tex]\Delta_k(x)=\Delta_{k-1}(x)-\Delta_{k-1}(x-1)[/tex] for k=2,...,d. Da er [tex]\Delta_k[/tex] et polynom av grad d-k som er hel for hele n unntatt n=0,...,k. Disse betingelsene er ikke forenlige for [tex]\Delta_d[/tex], så en slik P kan ikke finnes.

Et kortere bevis hvis koeffisientene er rasjonale: Hvis P(m) ikke er hel for en hel m, er P(c+m) der c>0 er største felles divisor av nevnerne til koeffisientene heller ikke hel.

Oppfølger: Kan vi ha et rasjonalt/reelt polynom P som er helt for presis et heltall, si 0? Hva hvis vi krever det uniform positiv avstand, det vil si at P(0) er helt, men for andre heltall n er avstanden fra P(n) til nærmeste heltall minst [tex]\epsilon[/tex] for noen [tex]\epsilon>0[/tex]?

Edit: Endra litt delta som Karl Erik påpekte.

[Karl_Erik]

Ser ut som det ble litt rot med notasjonen i definisjonen av [tex]\Delta_k (x)[/tex], men idéen skulle vel føre fram, ja. En alternativ måte å gjøre det på er å vise at ethvert polynom som er helt for alle heltall må ha rasjonale koeffisienter, og deretter bruke det enklere beviset du kom med.

På deler av oppfølgeren: I det reelle tilfellet, ja, da finnes det polynomer P som kun tar heltallsverdi på ett heltall. Et eksempel er [tex]P(x)=\sqrt{2} x + 1[/tex]. I det rasjonale tilfellet, nei. Hvis [tex]P(x)[/tex] er et heltall og [tex]m[/tex] er minste felles multiplum av nevnerene er [tex]P(x+m)[/tex] også et heltall.

[mrcreosote]

Blei litt rot, ja, takk. Stemmer det du har skrevet.