Linje , areal og funksjon

[Nebuchadnezzar]

Linja [tex]y \, = \, mx \, + \, b[/tex] krysser parabelen [tex]x^2[/tex] i [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex]. Vi plasserer et punkt [tex]P[/tex] på parabelen mellom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex]. Her antar at [tex]m[/tex] og [tex]b[/tex] er to reelle tall.

Finn punktet [tex]P[/tex] slik at arealet av [tex]ABP[/tex] blir størst mulig. Hva blir arealet?

[Janhaa]

Du skal ha kudos for å lage/finne oppgaver som tar nattesøvnen fra folk
Prøvde meg på noen ulike metoder;

1) tenkte at arealet er størst når vinkel BAP = 90 grader. Fant så stigningstalla til linjene AB og AP. Da veit vi jo; a(AB)*a(AP) = -1.
Men etterhvert forstod jeg dette ikke var rett og ikke førte fram!

2)
gitt som sagt;
[tex]y_1=mx+b[/tex]
og
[tex]y_2=x^2[/tex]
der
[tex]y_1=y_2[/tex]
gir
[tex]x=\frac{m\pm \sqrt{m^2+4b}}{2}[/tex]

så klarte jeg å finne stygt uttrykk for linjestykkene AP = grunnflata og høyden (normalen fra B på AP). Og fikk etterhvert et vederstyggelig areal, A(x). Som jeg deriverte og satte lik null. Omsider forbausa det meg at P så ut til å ha en pen x-koordinat, nemlig x= m/2.

Men jeg fant i natt ut disse algebraiske sjølmordslikningene blei for "komplekse" og tungvinte. Så jeg oppdaga faktisk både en 3. og 4. måte.!
Den ene er litt smart, og jeg trur den er riktig, siden x= m/2 samsvarte med 2 ulike metoder.
Først og fremst er x = m/2 korrekt?

Jeg skal føre inn den seinere i dag, hvis ingen kommer meg i forkjøpet da...

[Nebuchadnezzar]

x=m/2 ja =)

Men husk oppgaven bad om punktet [tex]P[/tex] og arealet. Så du er nesten der ^^

Selv fant jeg et uttrykk for lengden [tex]AB[/tex], så fant jeg ei linje som stod vinkelrett på [tex]AB[/tex] og gikk gjennom punktet [tex]P[/tex]. Fant den korteste avstanden mellom [tex]AB[/tex] og [tex]P[/tex], kaller denne for k.

Da er arealet [tex]A=\frac{k\cdot|AB|}{2}[/tex] deriverte denne stygge greia her og fant ut av x=m/2

Brukte kryssproduktet til å finne arealet.

Gleder meg til å se den lette løsningen, og jeg har mange flere geometriske oppgaver på lager ^^

[Janhaa]

Jeg veit Nebu., men nå er det R1 og R2.

Skal se hva jeg får tid til i kveld/natt.

Uansett;

[tex]P=(\frac{m}{2},\, \frac{m^2}{4})[/tex]

[tex]A(\frac{m}{2})=\frac{(m^2+4b)^{\frac{3}{2}}}{8}[/tex]

[Thales]

Ok, etter å ha set på uttalige måter å løse den(med funksjoner, integraler, trigonometri, geometri), så satser jeg på en geometrisk får å finne arealet av trekanten. Underveis vil jeg også vise noen ganske så fine egenskaper ^^

Let's go:

La oss kalle arealet til trekanten ABP for A.
Setter [tex]f(x)=mx+b \ og \ g(x)=x^2[/tex]
x koordinatet til et punkt N blir skrevet [tex]x_N[/tex]. Samme for y.

I løpet av hele utregningen antas det at:

[tex]x_B \ge x_P \ge x_A[/tex]

Setter opp en par likheter som kommer til å hjelpe oss underveis:

[tex]x_A = \frac{m-sqrt{m^2+4b}}{2} \ \mathrm{og} \ x_B = \frac{m+sqrt{m^2+4b}}{2}\\ \Rightarrow x_A \cdot x_B = -b \\ \Rightarrow x_A + x_B = m \\ \Rightarrow x_B - x_A = \sqrt{m^2+4b} \\ y_N={x_N}^2 \ \mathrm{for \ alle \ punkt \ N} [/tex]

Areal av en trekant:

[tex]{A = \frac{|x_A(y_P-y_B)+x_P(y_B-y_A)+x_B(y_A-y_P)|}{2}}\\ A = \frac{|x_A {x_P}^2- x_A {x_B}^2 + x_P {x_B}^2- x_P {x_A}^2+x_B {x_A}^2- x_B {x_P}^2)|}{2}\\ A=\frac{|{x_P}^2(x_A-x_B)+x_P({x_B}^2-{x_A}^2)+{x_A}^2x_B-x_A{x_B}^2|}{2}\\ A=\frac{|{x_P}^2(x_A-x_B)-x_P(x_A-x_B)(x_A+x_B)+x_Ax_B(x_A-x_B)|}{2}\\A=\frac{|(x_A-x_B)({x_P}^2-x_P\cdot m-b)|}{2}[/tex]

La oss pause et øyeblikk for å legge merke til noe ganske så fint:

[tex]A=\frac{|(x_A-x_B)(g(x)-f(x))|}{2}=\frac{(x_B-x_A)(f(x)-g(x))}{2}[/tex]

Som er arealet av en trekant med lenge [tex]x_B-x_A[/tex] og høyde [tex]f(x)-g(x)[/tex], eller omvendt.

Vi kan ta bort absoluttverdien siden:

[tex]x_B \ge x_A[/tex] og [tex]f(x)\ge g(x) \ \forall \ x \in [x_A;x_B] [/tex]

Ok, vi fortsetter:

[tex]A=\frac{|(x_A-x_B)({x_P}^2-x_P\cdot m-b)|}{2}\\A=\frac{(x_B-x_A)(-{x_P}^2+x_P\cdot m+b)}{2}\\A^{\prime}=\frac{(x_B-x_A)(-2x_P+m)}{2}[/tex]

A er maksimalt når A'=0:

[tex]\frac{(x_B-x_A)(-2x_P+m)}{2}=0 \ \Leftrightarrow (x_B-x_A)(-2x_P+m)=0 \\ x_B-x_A=0 v -2x_P+m=0\\ x_B=x_A v x_P=\frac{m}{2}[/tex]

Når [tex]x_B\neq x_A[/tex] er [tex]x_P=\frac{m}{2}[/tex].

Når [tex]x_B=x_A[/tex] er [tex]x_A=x_B=0=x_P[/tex] Altså er [tex]x_P[/tex] også
[tex]\frac{m}{2}=\frac{x_A+x_B}{2}[/tex].

Altså er arealet av [tex]ABP[/tex] størst mulig når [tex]x_P = \frac{m}{2}[/tex]
Da er :

[tex]A=\frac{(x_B-x_A)(-{x_P}^2+x_P\cdot m+b)}{2}\\ A = \frac{\left(\sqrt{m^2+4b}\right)\left(-{\left(\frac{m}{2}\right)}^2+\frac{m}{2}\cdot m+b\right)}{2}\\ A = \frac{\left(sqrt{m^2+4b}\right)\left(\frac{-m^2+2m^2+4b}{4}\right)}{2}\\ A = \frac{(sqrt{m^2+4b})({m^2+4b})}{8}\\ A = \frac{(m^2+4b)^{\frac{2}{3}}}{8}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Pent, pent. Lite spørsmål bruker du Herons formel helt i begynnelsen, eller vektorer når du definerer arealet av trekanten ?

[Thales]

Pent, pent. Lite spørsmål bruker du Herons formel helt i begynnelsen, eller vektorer når du definerer arealet av trekanten ?

Faktisk noe annet, en formel for å finne arealet av en trekant ut i fra koordinatene. Ta en titt her:

http://www.mathopenref.com/coordtrianglearea.html

Veldig fin oppgave forresten, mulig å løse på så mange måter, noen mer effektive en andre. Det er den typen nøtter jeg liker mest

[Nebuchadnezzar]

Sløvt at jeg kunne glemme noe sånt

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=27223

[Janhaa]

Ja, endel fiffige løsninger her. Artig den der Thales!

Nå skal jeg få inn løsninga mi også;

definerer:
[tex]\text A=(a,a^2),\,\, A^,=(a,0),\, B=(c,c^2),\,\, B^,=(c,0),\,\, P(x,x^2)\,\, og \,\,P^,(x,0) da har vi: Areal(ABP)=A(blue)=Areal(A^,ABB^,)\,-\, Areal(A^,APP^,)\,-\, Areal(P^,PBB^,)=A(x)[/tex]

der

[tex]A(x)=\frac{(a^2+c^2)(c-a)}{2}\,-\,\frac{(a^2+x^2)(x-a)}{2}\,-\,\frac{(x^2+c^2)(c-x)}{2}[/tex]

finner max;

[tex]A^,(x)=-0,5[2x(x-a)+(a^2+x^2)]\,-\,0,5[2x(c-x)-(c^2+x^2]=0[/tex]

[tex]2x^2\,-\,2xa+a^2+x^2+2xc-2x^2-c^2-x^2=0[/tex]

[tex]2x(c-a)=c^2-a^2=(c-a)(c+a)[/tex]

[tex]x=\frac{a+c}{2}[/tex]

så veit vi jo for[tex]\,\,c>a[/tex]

[tex]a=\frac{m-\sqrt{m^2+4b}}{2}[/tex]
og
[tex]c=\frac{m+\sqrt{m^2+4b}}{2}[/tex]

slik at:

[tex]x=\frac{m}{2}[/tex]
og
[tex]P=(\frac{m}{2},\frac{m^2}{4})[/tex]

endelig;

[tex]A(\frac{m}{2})=\frac{(m^2+4b)^{3\over 2}}{8}[/tex]